Encontrar el resto cuando se desconoce$f(x)$ se divide en$g(x)$

Question

Cuando $f(x)$ se divide por $x - 2$ e $x + 3$, el resto son de 5 y -1, respectivamente. Encontrar el resto cuando $f(x)$ se divide por $x^2 + x - 6$

Mi método: Desde $x - 2$ e $x + 3$ son lineales, dividiendo por cuadrática dejará lineal restos.

Utilizando el teorema del resto: $$ f(x) = g(x) q(x) + r(x) $$ Donde $g(x)$ es un divisor, $q(x)$ es un resto, y $r(x)$ es un resto

Dejo $ax + b$ aquí el resto. Así:

\begin{align} f(x) &= g(x) (x - 2)(x + 3) + ax + b\\ f(2) &= g(2) (0)(5) + 2a+ b\\ f(-3) &= g(-3) (-5)(0) - 3a + b\\ \\ &5 = 2a + b\\ &-1 = -3a + b\\ \\ &...\\ \\ &a = \frac{6}{5}, b = \frac{13}{5} \\ \end{align}

A continuación, el resto es $ax + b = \frac{6}{5}x + \frac{13}{5} $

Es posible encontrar la $f(x)$ de los restos?

Answer 1

No, hay infinitos $f(x)$ que satisfacen las condiciones dadas: $$f(x)=q(x)(x^2 + x - 6)+\frac{6}{5}x + \frac{13}{5}$ $ con cualquier polinomio $q(x)$ .