Ecuación con el grupo de Galois torcido$S_{3}$

Question

Tomo nota de que un grupo de Galois no es sólo un grupo de Galois. Deje $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$, $r_{4}$, denotan las raíces de una ecuación de cuarto grado. A continuación, $x^4-5x^2+6$ tiene grupo de Galois $Z_{2}^2$, donde las permutaciones de las raíces están dadas por ($r$'s y fija raíces omitido) $()$, $(12)$, $(34)$, e $(12)(34)$, mientras que $x^4+1$ también tiene grupo de Galois $Z_{2}^2$, pero sus permutaciones se $()$, $(12)(34)$, $(13)(24)$, e $(14)(23)$.

Estas situaciones son diferentes. El primer polinomio puede ser un factor, pero el segundo es irreducible sobre los racionales. Así que en realidad podría ser mejor para referirse a un grupo de Galois como un grupo que actúa sobre un conjunto o una permutación de grupo en lugar de sólo un grupo.

En ese caso, me pregunto si hay un quintic ecuación cuyo grupo de Galois/set es $()$, $(123)$, $(132)$, $(12)(45)$, $(23)(45)$, $(13)(45)$. Este grupo es $S_{3}$, pero su $2$-ciclos son emparejados con $(45)$; he visto de este tipo, llamado "twisted $S_{3}$" en algunos sitios. Si es así, no puede ser igual que el de costumbre, $S_{3}$ ecuación como: $x^3-2$. Desde este grupo permutes $5$ elementos, debe ser el grupo de un quintic, no un cúbicos, pero parece que tiene la raíz cubica. Además, la habitual cúbicos ecuación como: $x^3-2$ tiene un no-plaza discriminante (en este caso, $108$), pero retorcido $S_{3}$ es un subgrupo de $A_{5}$, lo que significa que el quintic tiene que tener una plaza discriminante. Así que puede no ser una ecuación?

Answer 1

Un ejemplo $(x^3 - 2)(x^2+3)$.

Edit: Con respecto a la afirmación de que un grupo de Galois no es sólo un grupo de Galois: vamos a $P$ ser un polinomio con coeficientes racionales y deje $r_1,\dots, r_n$ las raíces de $P$. Por simplicidad, suponga que $P$ sencilla raíces. El campo $Q^P:=\mathbb Q(r_1,\dots,r_n)$ de descomposition de $P$ es una extensión de Galois de $\mathbb Q$.

Para el polinomio $P$ uno normalmente asocia el grupo de $G(P):=Gal(\mathbb Q^P/ \mathbb Q)$ y una representación natural como un grupo de permutación, que es una incrustación $$ G(P) \hookrightarrow S_n $$ en el grupo simétrico de a$n$ elementos; sólo mediante la identificación de $\{r_1,\dots r_n\}$ con $\{1,\dots n\}$.

Esta incrustación depende fuertemente $P$ pero $G(P)$ débilmente en $P$.

Por ejemplo supongamos $P=x^4 + 1$, y deje $r$ ser una raíz de $P$. A continuación, $\mathbb Q^P= Q(r)$. Como el OP ha mencionado el grupo concede a $P$ es representado como transitivo permutación grupo por () , (12)(34), (13)(24), y (14)(23). Desde $r$ es $8$th techo de la unidad es directa por la identidad de Euler que $\mathbb Q^P= \mathbb Q(\sqrt 2, i)=\mathbb Q^{(x^2 -2)(x^2+1)}$. La permutación grupo adjunta a $Q=(x^2 -2)(x^2+1)$ es $(), (1,2),(3,4),(1,2)(3,4)$, no transitiva de permutación grupo. Como resumen de los grupos son isomorfos.

Yo diría que un grupo de Galois es un grupo de campo de automorfismos, sino una realización de la misma como una permutación de grupo no es automáticamente inherente de $G$ sino una consecuencia de que el procedimiento utilizado para obtener el $K/\mathbb Q$.

Número de teóricos han estado interesados en la más exótica de las representaciones. Por ejemplo, la teoría de la cyclotomic campos representa $Gal(\mathbb Q^Q/\mathbb Q)$ canónicamente como el grupo de unidades de $(\mathbb Z/ 8\mathbb Z)^\times$ , que más que un grupo de permutaciones.