Subgrupos Sylow 2 de S4

Question

Estoy tratando de encontrar todos los subgrupos de Sylow 2 de S4 utilizando los teoremas de Sylow. Ahora, sé que un subgrupo de Sylow 2 de S4 tiene tamaño 8, y que hay 1 o 3 de ellos (como el número de de Sylow 2-subgrupos tiene forma 1+2k y divide 3, el índice).

Ahora mi profesor dice "los estabilizadores de las 3 bisecciones diferentes de {1,2,3,4} dan lugar a 3 subgrupos Sylow 2 distintos"

Ahora mis preguntas son:

1) ¿Qué se entiende por estabilizadores de 3 biyecciones diferentes de {1,2,3,4}? ¿Es decir los elementos de S4 que envían {1,2} y {3,4} a {1,2},{3,4} es decir por (12)(34)?

2) ¿Cómo sabe que hay 8 elementos de este conjunto? Tal vez esto se aclare después de responder a la primera pregunta.

Muchas gracias, la teoría de grupos es difícil.

Answer 1

1) Sí, lo tienes. Hay tres formas únicas de escribir $\{1,2,3,4\}$ como unión de dos conjuntos de tamaño dos. Estos son $\{1,2\}\cup\{3,4\}$ , $\{1,3\}\cup\{2,4\}$ y $\{1,4\}\cup\{2,3\}$ . No deberían llamarse "biyecciones de $\{1,2,3,4\}$ ", pero esto es lo que probablemente se quería decir. Veamos la primera, la que usted ha mencionado: $\{1,2\}\cup\{3,4\}$ . Podemos considerar el subgrupo $H$ de $S_4$ que consiste en permutaciones que preservan esta descomposición, es decir, que envían $\{1,2\}$ para $\{1,2\}$ o $\{3,4\}$ . Puede ver $$H = \{(1), (1 2), (3 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 3 2 4), (1 4 2 3)\}.$$ 2) Está claro que habrá 8 elementos en $H$ , ya que tenemos 4 opciones para donde $1$ es enviada, entonces no tenemos opción de donde enviar $2$ (debe pegarse al lado de donde $1$ se envía), y entonces tenemos $2$ opciones para el envío de $3$ y luego no hay opción para $4$ .

Así que $H$ es un subgrupo 2-Sylow de $S_4$ . Otros dos provienen de las otras dos descomposiciones. No puede haber más de tres, como has dicho. Así que estos son todos.

En caso de que tengas curiosidad, puedes demostrar que $H$ (y por tanto todos los subgrupos de 2-Sylow) es isomorfo a $D_4$ el grupo diédrico de orden 8. Puedes ver esto de forma bastante concreta si sabes cómo $D_4$ actúa sobre los vértices de un cuadrado por rotación y reflexión. Si se etiquetan los vértices de un cuadrado en el sentido de las agujas del reloj por $1$ , $3$ , $2$ y $4$ entonces todas estas rotaciones y reflexiones mantienen juntas las esquinas opuestas, es decir, hacen lo que los elementos de $H$ lo hizo. Los otros subgrupos de 2-Sylow provienen de etiquetar los vértices de manera diferente (y es precisamente el hecho de que los subgrupos de 2-Sylow son conjugados en $S_4$ ya que la conjugación es explícitamente sólo un reetiquetado en los grupos simétricos).