Si$f(\frac{x+y}{x-y})=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$, cuál de las siguientes afirmaciones es correcta

Question

Si $f(\frac{x+y}{x-y})=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$ para $x \ne y$, $x$ e $y$ son enteros. Cual de las siguientes declaraciones es correcta :

(1) $f(0)=0$

(2) $f(1)=1$

(3) $f(-x)=-f(x)$

(4) $f(-x)=f(x)$

Me parece (1),(2) y (3) la afirmación correcta. Pero no sé si lo estoy haciendo en forma correcta o no. Aquí está mi intento :

Para (1): $\frac{x+y}{x-y}=0\\ x=-y\\ f(0)=\frac{f(x)+f(-y)}{f(x)-f(-y)} \\f(0)=0$ (no estoy seguro acerca de esta parte)

Para (2) : $\frac{x+y}{x-y}=1\\ x+y=x-y\\ -2y=0\\ y=0\\ f(1)=\frac{f(x)+f(0)}{f(x)-f(0)} \\f(1)=1$

Para (3) : $\frac{x+y}{x-y}=-x\\ x+y=xy-x^2\\ ??$ (Estoy atascado de esta parte)

Answer 1

Deje $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ resolver la ecuación funcional

$$ \forall x, y \in \mathbb{Z} \ \ \text{s.t.} \ \ \frac{x+y}{x-y} \in \mathbb{Z}, \quad f\left(\frac{x+y}{x-y}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{f(x) - f(y)}. \tag{*} $$

Paso 1. $f(1) = 1$ e $f(0) = 0$.

Para $x \neq 0$, enchufe $y=0$ a ver que $f(1)=\frac{f(x)+f(0)}{f(x)-f(0)}$ sostiene. Si $f(1) \neq 1$, luego de los problemas en términos de $f(x)$ da

$$ f(x) = f(0) \frac{f(1) + 1}{f(1) - 1}, $$

y así, $f$ es constante en $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$. Este inmediatamente se produce una contradicción a $\text{(*)}$, pues al conectar $x = 2$ e $y = 1$ hace que el lado derecho de la $\text{(*)}$ indefinido. Esto obliga a $f(1) = 1$, lo que implica entonces $f(0) = 0$.

Paso 2. $f(-x) = -f(x)$.

En vista del Paso 1, es suficiente para asumir la $x \neq 0$. Conectar $y = -x$, tenemos

$$ 0 = f(0) = \frac{f(x) + f(-x)}{f(x) - f(-x)}, $$

y así, $f(x) + f(-x) = 0$ y el reclamo de la siguiente manera.

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Por el Paso 1 y 2, (1), (2) y (3) son correctas. También, observe que $f(x) = x$ resuelve $\text{(*)}$ pero no cumple (4). De modo que (4) no puede ser cierto.

Answer 2

Su argumento para (1) no; si elegimos $x=-y$ , de modo que $\frac{x+y}{x-y}=0$, eso no lo ha reclamado para el lado derecho. Por el contrario, obtendremos $$f(0)=\frac{f(-y)+f(y)}{f(-y)-f(y)}$$ sustituyendo $-x$ todas partes $y$ muestra.
No hay suficiente información todavía. Que va a ser cero si podemos probar (3), pero no lo hemos hecho.

Para (2) - bien, que va a trabajar si podemos demostrar (1).

Para (3), usted sabe que no la tienen.

Esperar, $x$ e $y$ están restringidas a enteros en el funcional de la ecuación? Que voy a limitar a nosotros.

Así que, ¿cómo podemos demostrar (3)? Bien, volvamos a lo que nos dieron mirando a (1); $$f(0)=\frac{f(-y)+f(y)}{f(-y)-f(y)}$$ para todo número entero distinto de cero $y$. Pero entonces, también es cierto en $-y$, y $$f(0)=\frac{f(y)+f(-y)}{f(y)-f(-y)}=-\frac{f(-y)+f(y)}{f(-y)-f(y)}=-f(0)$$ Aha - debemos tener $f(0)=0$, y (1) es verdadera. A partir de ahí, $f(-y)+f(y)=0$ para todos los enteros $y$, y tenemos (3) para un entero $y$. Para otros racional de los valores de $f(\frac mn)$, podemos escribir $\frac{2m}{2n}=\frac{(m+n)+(m-n)}{(m+n)-(m-n)}$y $$f\left(\frac mn\right) = \frac{f(m+n)+f(m-n)}{f(m+n)-f(m-n)}$$ $$f\left(\frac {-m}{n}\right) = \frac{f(-m+n)+f(-m-n)}{f(-m+n)-f(-m-n)}=\frac{-f(m-n)-f(m+n)}{f(m+n)-f(m-n)}=-f\left(\frac mn\right)$$ Que (3) racional, $x$. Si el dominio de $f$ se extiende más allá, no podemos decir nada acerca de ella, y (3) puede fallar.

Así que, mientras el dominio de $f$ está restringido a los racionales, tenemos (1), (2) y (3). Desde $f(1)=1$ e $f(-1)=-1$, que definitivamente no tiene (4).