Calcular

Question

Yo lucho por un tiempo de resolución de límite de esta cadena: $ a_n\:=\:n^3\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}-\sqrt{2}n\right) $

Sé de WolframAlpha resultado será $ \frac{1}{4\sqrt{2}} $, pero paso a paso la solución es demasiado complicado(28 de pasos). Por lo general, resolver los límites de la propiedad $ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2 $

Hice este momento: $$ \lim _{n\to \infty }\left(n^3\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n^{4\:}+1}}-\sqrt{2}n\right)\right) =n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}-n^4\sqrt{2}=\frac{\left(n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}-n^4\sqrt{2}\right)\left(n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+n^4\sqrt{2}\right)}{\left(n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+n^4\sqrt{2}\right)} = \frac{-n^8+n^6\sqrt{n^4+1}}{n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+n^4\sqrt{2}}$$

Agradezco cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Insinuación

Primero, deje $n=\frac 1x$ y componga la serie de Taylor alrededor de $x=0$ ; volver a $n$ , obtener sucesivamente $$\sqrt{n^4+1}=n^2+\frac{1}{2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$ $ $$\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}=\sqrt{2} n+\frac{1}{4 \sqrt{2} n^3}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$ $

Answer 2

$$a_n=\frac{n^3(n^2+\sqrt{n^4+1}-2n^2)}{\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+\sqrt{2}n}$ $ $$=\frac{n^3(\sqrt{n^4+1}-n^2)}{\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+\sqrt{2}n}$ $ $$=\frac{n^3}{(\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+\sqrt{2}n)(\sqrt{n^4+1}+n^2)}$ $ $$=\frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}+1)}$ $ Ahora, aplique $\lim_n\to \infty$ en ambos lados y obtenga el resultado.

Espero eso ayude:)

Answer 3

$$ \begin{align}L&=\lim_\limits{n\to \infty }\left(n^3\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n^{4\:}+1}}-\sqrt{2}n\right)\right)\\& =\lim_\limits{n\to\infty}n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}-n^4\sqrt{2}\\&=\lim_\limits{n\to\infty}\frac{\left(n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}-n^4\sqrt{2}\right)\left(n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+n^4\sqrt{2}\right)}{\left(n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+n^4\sqrt{2}\right)}\\&=\lim_\limits{n\to\infty}\frac{-n^8+n^6\sqrt{n^4+1}}{n^3\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+n^4\sqrt{2}}\\&=\lim_\limits{n\to\infty}\dfrac{-n^5+n^3\sqrt{n^4+1}}{\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}+n\sqrt 2}\\&=\lim_\limits{n\to\infty}\dfrac{-n^5+n^3\cdot n^2\sqrt{1+\dfrac1{n^4}}}{n\sqrt{1+\sqrt{1+\dfrac1{n^4}}}+n\sqrt2}\\&=\lim_\limits{n\to\infty}\dfrac{n^5\left[\sqrt{1+\dfrac1{n^4}}-1\right]}{n\left[\sqrt{1+\sqrt{1+\dfrac1{n^4}}}+\sqrt2\right]}\\&\boxed{\text{Let }n=\dfrac1m,\text{ so as }n\to\infty,m\to 0}\\&=\lim_\limits{m\to0}\dfrac{\sqrt{1+m^4}-1}{m^4\sqrt{1+\sqrt{1+m^4}}+\sqrt2}\\&\boxed{\text{As }x\approx 0,(1+x)^n\approx 1+nx}\\&=\lim_\limits{m\to 0}\dfrac{1+\dfrac12m^4-1}{m^4\sqrt{1+1+\dfrac12m^4}+\sqrt 2}\\&=\lim_\limits{m\to0}\dfrac{\dfrac12}{\sqrt{2+\dfrac12m^4}+\sqrt2}\\&=\lim_\limits{m\to0}\dfrac1{2\sqrt2\sqrt{1+\dfrac14m^4}+2\sqrt2}\\&=\lim_\limits{m\to0}\dfrac1{2\sqrt2\left(1+\dfrac18m^4\right)+2\sqrt2}\\&=\boxed{\dfrac1{4\sqrt2}}\end {align} $$

Answer 4

Desde el numerador y el denominador tome $-n^{3}$ como término común y, a continuación, racionalizar el numerador de nuevo. Una vez que usted se quedará con :

$$\frac{n^{3}}{(n^{2}+\sqrt{n^{4}+1})(\sqrt{n^{2}+\sqrt{n^{4}+1}}+n\sqrt{2})}$$

Dividir el numerador y el denominador por $n^{3}$, y una vez que usted tiene que dividir el denominador por $n^{3}$ para el primer factor de dividir n^{2} y el segundo factor n. Usted obtendrá : $$\frac{1}{(1+\sqrt{(1/n^{4})+1})(\sqrt{1+\sqrt{(1/n^{4})+1}}+\sqrt{2})}$$

Aplicar el límite obtendrá la respuesta $\frac{1}{4\sqrt{2}}$

Answer 5

Puede proceder de la siguiente manera transformando el límite en un derivado de una función en $0$ .

Primero establece $n = \frac{1}{t}$ y considera $t \to 0^+$ :

\begin{eqnarray*} n^3\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}-\sqrt{2}n\right) & \stackrel{n=\frac{1}{t}}{=} & \frac{\sqrt{\frac{1}{t^2}+\sqrt{\frac{1}{t^4}+1}}-\sqrt{2}\frac{1}{t}}{t^3}\\ & = & \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+t^4}}-\sqrt{2}}{t^4}\\ & \stackrel{y=t^4}{=} & \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y}}-\sqrt{2}}{y}\\ & \stackrel{y\to 0^+}{\longrightarrow} & f'(0) = \left.\frac{1}{4\sqrt{1+\sqrt{1+y}}\cdot \sqrt{1+y}} \right|_{y=0} = \boxed{\frac{1}{4\sqrt{2}}}\mbox{ for } f(y) =\sqrt{1+\sqrt{1+y}}\end {eqnarray *}