Mostrando$ 2 $ las matrices son similares

Question

Tengo que mostrar si o si esas matrices $ 2 $ son similares:

$$ \ left (\begin{matrix} 3 & 2 & -2 \\ 1 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \\ \end {matrix} \ right) $$

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$$ \ left (\begin{matrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ \end {matrix} \ right) $$

Ya calculé su determinante pero es igual por lo que no hay. ¿Es posible mostrarlo en función de su polinominal?

Answer 1

Sugerencia : Las dos matrices tienen el mismo polinomio característico: $ p(x)=x^3-6x^2-x+28 $ y tiene tres raíces DIFERENTES en $ \mathbb R $ (considere $ p(0) $ y $ p(3) $ y use el teorema del valor intermedio). Así que las dos matrices son similares.

Answer 2

Para las matrices a ser similares, es necesario, pero no suficiente, para la característica polinomios a ser el mismo. En realidad, es suficiente en este caso, sin embargo, ya que ambas matrices parecen ser diagonalizable.

He aquí un poco de historia: recordar que la obstrucción a ser diagonalizable sobre un algebraicamente cerrado de campo es la diferencia entre "algebraica multiplicidad" y "multiplicidad geométrica" de los autovalores. Geométrica de la multiplicidad es, al menos, uno para cada autovalor, y menos que o igual a la multiplicidad algebraica (grado de la raíz del polinomio característico). Pero aquí, las raíces del polinomio característico son todas diferentes. Esto hace las cosas mucho más fácil para nosotros, ya que la multiplicidad geométrica de cada autovalor es al menos uno, y hay tres autovalores distintos. Esto significa que la suma de los geométrica de multiplicidades es $3$, por lo que nuestra matriz es diagonalizable. Diagonalizable matrices con el mismo polinomio característico será similar a la misma diagonal de la matriz, por lo que esto resuelve el problema.

En general, sobre las $\mathbb{C}$, el Jordan de descomposición para cada matriz es un completo invariante por la semejanza de matrices. Más de $\mathbb{R}$, el racional de la forma canónica es una completa invariante. Es decir, las matrices son semejantes si y sólo si tienen la misma descomposición (hasta las simetrías como permuting bloques).