¿Se pueden escribir todas las expresiones trigonométricas en términos de seno y coseno?

Question

Sé que el seno y el coseno pueden ser reescritos en términos de las partes real e imaginaria de la función exponencial como resultado de la fórmula de Euler.

Mi pregunta es, ¿puede cada expresión trigonométrica ser escrita en términos de funciones trigonométricas elementales ($\sin$, $\cos$)? Si no es así, ¿por qué no podrían serlo?

Pensaría que sí, aunque entiendo que a veces puede ser prohibitivo hacerlo ya que la mayoría de las identidades trigonométricas pueden derivarse de la fórmula de Euler. ¿Existen casos en los que una expresión trigonométrica absolutamente no pueda ser escrita en términos de las funciones elementales?

Los únicos contraejemplos potenciales que se me ocurrirían incluirían algunos términos o factores no trigonométricos.

Sé que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico pueden ser reescritos en términos de seno y coseno en el plano complejo.

Answer 1

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

$$\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

$$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$$

$$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$

y dado que en el plano complejo, tenemos

$$\begin{align} \cosh\theta&=\phantom{-i}\cos{i\theta} \\ \sinh\theta&=-i\sin{i\theta} \\ \tanh\theta&=-i\tan{i\theta} \\ \coth\theta&=\phantom{-}i\cot{i\theta} \\ \operatorname{sech}\theta&=\phantom{-i}\sec{i\theta} \\ \operatorname{csch}\theta&=\phantom{-}i\csc{i\theta} \end{align}$$

Y así puedes continuar las definiciones de las funciones hiperbólicas sustituyendo las definiciones de seno y coseno de las otras 4 funciones trigonométricas restantes.