Demostrar que todas las raíces de $p_n(x)-x$ son reales y distintos

Question

Dada una serie polinómica $\{p_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ en $\mathbb{R}[X]$ con valor inicial $p_1(x)=x^2-2$ . Y $p_k(x)=p_1(p_{k-1}(x))=p_{k-1}(x)^2-2,\;k=2,3,\cdots$ .

Demuestre que para cada número entero $n$ todas las raíces de $p_n(x)-x$ son reales y distintos.

Este es un problema de mi libro de texto de álgebra lineal. Intenté averiguar la relación de las raíces entre polinomios adyacentes, pero no pude encontrar ningún resultado útil. También pensé si se podía resolver por inducción, pero parece impracticable.

Answer 1

Lema Deja que $n \geq 2$ Si $p_{n}(x)$ tiene un mínimo local es $-2$ . Si $p_{n}(x)$ tiene un máximo local es $2$ . Mínimos locales con $x>0$ se produce $2^{n-2}$ veces, Mínimos locales con $x<0$ se produce $2^{n-2}$ veces, Máximos locales con $x<0$ se produce $2^{n-2} -1$ veces y finalmente Máximos locales con $x>0$ se produce $2^{n-2}-1$ tiempos. Los máximos locales se producen en $x=0$

Prueba ; Diferenciación $p_{n}$ encontramos que

$p_{n}'(x) = 2p_{n-1}(x)(p_{n-1}'(x))$

Por lo tanto,

(1) $p_{n}'(x) = 2p_{n-1}(x)(2p_{n-2}(x))...(2p_{1}(x))(2x)$

Para ser un mínimo o un máximo local hay que $p_{n}'(x) = 0$ . Observando (1) vemos que algunos $p_{n-j}(x)$ es $0$ o $x=0$ . Si $p_{n-1}(x)$ es 0 entonces $p_{n}(x)$ es $-2$ . Si algunos $p_{n-j}(x)$ para $j\geq 2$ es $0$ (sólo hay que definir $p_{0}(x) = x$ ) entonces $p_{n}(x) = 2$ . Por lo tanto, si (x,p_n(x)) es un punto de inflexión p_n(x) es $\pm 2$ . También hay que tener en cuenta que no hay raíces dobles como si $p_h(x) = 0$ entonces para cualquier $a >0$ $p_{h+a}(x) = 2$ o $-2$

Ahora bien, observe que cada $p_n(x)$ tiene $2^{n}$ raíces distintas. Así que podemos etiquetar las raíces en un orden creciente $c_{1} < c_{2} ...< c_{2^n}$ . Obsérvese que entre dos raíces sucesivas cualesquiera $c_{u}$ y $c_{u+1}$ uno tiene un punto de inflexión.

Afirmamos que entre cualquier raíz sucesiva hay exactamente un punto de inflexión. Para ver esto supongamos que hay un intervalo $[c_u,c_{u+1}]$ que contiene al menos dos puntos de inflexión; por tanto, hay al menos $2^n$ puntos de inflexión en $[c_{1},c_{2^n}]$ pero sólo puede haber como máximo $2^n-1$ puntos de inflexión (como grado de $p_n(x)$ es $2^{n}$ ). Combinando esta información y la del párrafo anterior tenemos que en un intervalo $[c_{u}, c_{u+1}]$ ; $p_n(x)$ alcanza exactamente uno de los siguientes;

(I) Un mínimo local de -2

(II) Un máximo local de 2

Volviendo atrás y observando (1) (la ecuación anterior) (I) ocurre exactamente cuando $p_{n-1}(x) = 0$ que tiene $2^{n-1}$ raíces distintas; la mitad positivas y la mitad negativas (función par). (II) ocurre exactamente cuando alguna $p_{n-j}(x) =0$ para algunos $j \geq 2$ que ocurre en $2^{n-1} - 1$ lugares distintos, siendo uno de ellos $0$ .

Utilizaremos la observación de que las raíces de $p_n(x)$ satisfacer $|x| < 2$ para terminar la prueba.

Ahora considere cada uno de los $2^{n-2} -1$ intervalos de tipo (II) $[c_{u},c_{u+1}]$ con $c_{u} > 0$ podemos dividir este intervalo en dos intervalos $[c_{u},d]$ y $[d,c_{u+1}]$ donde $p_n(d) = 2$ aplicando el teorema del valor intermedio en cada uno de los intervalos a la función $g_n(x) = p_n(x) - x$ encontramos que $g_n(x)$ contiene dos raíces distintas en $[c_{u},c_{u+1}]$ . Esto hasta ahora nos da un total de $2(2^{n-2} -1)= 2^{n-1} -2$ raíces reales distintas.

Ahora es el momento de mirar el $2^{n-2}$ intervalos de tipo (I) $[c_p, c_{p+1}]$ con $c_{p} < 0$ ; volvemos a dividir de forma autista este intervalo en $[c_p, e]$ y $[e, c_{p+1}]$ donde $e$ es tal que $p_n(e) = -2$ (ya que se trata de un caso de tipo (I)); volvemos a aplicar el teorema del valor intermedio en cada uno de los intervalos a la función $g_n(x) = p_n(x) - x$ para recoger ese $g_n(x)$ contiene dos raíces distintas en $[c_p, c_{p+1}]$ . El número total de raíces de g_n(x) encontradas en este tipo de intervalos es, por tanto, el siguiente $2(2^{n-2}) = 2^{n-1}$ raíces distintas.

El número total de raíces distintas que tenemos ahora es $2^{n-1} -2 + 2^{n-1} = 2^{n-1}-2$ . Dónde están las otras dos raíces es una pregunta que te puedes hacer. Encontrarás esas otras dos raíces en el intervalo $[-a,a]$ donde $a$ es la raíz positiva más pequeña de $p_n(x)$ y usted mismo puede demostrar que esto es así haciendo un análisis similar al realizado anteriormente.

Answer 2

Una pista:

Observe que $-2 \le P_1(x) \le 2$ para todos $-2\le x\le 2$ y sus dos raíces se encuentran en el mismo intervalo. Esta propiedad se hace evidente mediante la sustitución $x=2\cos t$ que mapea el intervalo $t\in[0,\pi]$ en $x\in[-2,2]$ .

Lo tenemos: $$P_1(2\cos t)=(2\cos t)^2-2=4\frac{1+\cos 2t}{2}-2=2\cos 2t.$$

Igualmente por inducción: $$P_n(2\cos t)=2\cos 2^n t.$$

Así, el polinomio $P_n(x)$ tiene exactamente $2^{n}$ raíces en el intervalo $(-2,2)$ : $$\xi_k=2\cos\frac{2k-1}{2^{n+1}}\pi,\quad k=1\dots 2^n.$$ Además el polinomio tiene alternancia $2^{n-1}+1$ máxima $P(\xi_k^\text{max})=2$ en $$\xi_k^\text{max}=2\cos\frac{2k}{2^n}\pi,\quad k=0\dots 2^{n-1}$$ y $2^{n-1}$ mínimo $P(\xi_k^\text{min})=-2$ en $$\xi_k^\text{min}=2\cos\frac{2k-1}{2^n}\pi,\quad k=1\dots 2^{n-1}.$$ Obsérvese que los máximos en $x=-2$ y $x=2$ no son necesariamente los puntos extremos del polinomio $P_n(x)$ son sólo sus valores en los límites del intervalo $[-2,2]$ .

Obsérvese también que como el orden del polinomio $P_n(x)$ es $2^n$ hemos encontrado todas las raíces del polinomio.

Lo que queda es demostrar que la función $Q(x)=x$ intercepta la curva descrita anteriormente exactamente en $2^n$ puntos. Para ello observe que en el intervalo $(-2,2)$ el gráfico de $P_n(x)$ consiste en $2^n$ partes que conectan máximos y mínimos adyacentes. (Nótese que en realidad $Q(x)$ puede ser cualquier polinomio de orden inferior a $2^n$ tal que $-2<Q(x)<2$ para cualquier $-2<x<2$ .)