Diferenciación bajo el signo integral - ¿Qué transformaciones utilizar?

Question

¿Necesitas ayuda con esta integral?

PS

Tomando el primer derivado con respecto a $$I (\alpha) = \int_1^\infty {\arctan(\alpha x) \over x^2\sqrt{x^2-1}} dx$

PS

¿Qué transformaciones usar para resolver $\alpha$ ?

Answer 1

Sustituto $$u=\sqrt{x^2-1}\implies du=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx\implies dx=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}du$$ Entonces $$\int { dx\over (1+\alpha^2 x^2) x\sqrt{x^2-1} }=\int { du\over x^2(1+\alpha^2 x^2)}=\int { du\over (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$ Realizar parcial fracción de descomposición $$\int { du\over (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=\int\frac{du}{u^2+1}-a^2\int\frac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$ Seguro que ustedes saben que $$\int\frac{du}{u^2+1}=\arctan(u)+C$$ Para resolver $$\int\frac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$ Utilizar la sustitución $$v=\frac{au}{\sqrt{a^2+1}}\implies du=\frac{a^2+1}{a}$$ $$\int\frac{du}{a^2u^2+a^2+1}=\int\frac{\sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=\frac{1}{a\sqrt{a^2+1}}\int\frac{dv}{v^2+1}=\frac{\arctan(v)}{a\sqrt{a^2+1}}+C$$ Ahora el enchufe en la parte posterior $x$, se obtiene

$$\int_{1}^{\infty} { dx\over (1+\alpha^2 x^2) x\sqrt{x^2-1} }=\left[\arctan\left(\sqrt{x^2-1}\right)-\frac{a\arctan\left(\frac{a\sqrt{x^2-1}}{a^2+1}\right)}{\sqrt{a^2+1}}\right]_{1}^{\infty}$$ Creo que se puede manejar el resto de los cálculos.