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Question

Bueno, esto puede escribirse como $$\sqrt{5+\sqrt{(5+6)+\sqrt{(5+6+8)+\sqrt{(5+6+8+10)+\sqrt{(5+6+8+10+12)\cdots}}}}}$ $ Ponerlo como $y$ y cuadrar ambos lados no parece ayudar, y no sé qué más se puede hacer.

Answer 1

Podemos adoptar la técnica de Ramanujan infinito radical. Deje $p(x) = x^2 + 3x + 1$ y definen $F : [0, \infty) \to [0, \infty)$ por

$$ F(x) = \sqrt{p(x) + \sqrt{p(x+1) + \sqrt{p(x+2) + \cdots }}} $$

A continuación, $F$ soluciona

$$ F(x)^2 = p(x) + F(x+1). $$

Ahora hacemos un ansatz que $F(x)$ toma la forma $F(x) = ax + b$. Conectar este y la comparación de los coeficientes de muestra que

$$ F(x) = x + 2 $$

resuelve la ecuación funcional. Por último, desde el $(p(1), p(2), p(3), \cdots) = (5, 11, 19, \cdots) $, el infinito radical en cuestión se corresponde con el caso de $x = 1$, dando

$$ \sqrt{5 + \sqrt{11 + \sqrt{19 + \cdots}}} = F(1) = 3. $$

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Rigurosa justificación. Deje $\mathcal{C}$ ser el conjunto de todas las funciones continuas $f : [0, \infty) \to \mathbb{R}$ tales que

$$ \| f\| := \sup_{x\to\infty} \left( 2^{-x/2} |f(x)| \right) $$

es finito. Observe que $\mathcal{C}$ es una completa normativa espacio con respecto a $\|\cdot\|$. Escribir $p(x) = x^2 + 3x + 1$ y definir

$$\mathcal{A} = \{ f \in \mathcal{C} : f(x) \geq 0 \text{ for all } x \geq 0 \}. $$

Este es un subconjunto cerrado de $\mathcal{C}$. Ahora defina $\Phi : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$ por

$$ \Phi[f](x) = \sqrt{p(x) + f(x+1)}. $$

Si $f \in \mathcal{A}$, a continuación, $ 2^{-x/2}|\Phi[f](x)| \leq 2^{-x/2}\sqrt{p(x) + 2^{(x+1)/2}\|f\|} $ muestra que $\|\Phi[f]\| < \infty$, por lo tanto $\Phi$ está bien definido. Por otra parte, si $f, g \in \mathcal{A}$, luego

\begin{align*} 2^{-x/2} \left| \Phi[f](x) - \Phi[g](x) \right| &= 2^{-x/2} \cdot \frac{\left| f(x+1) - g(x+1) \right|}{\sqrt{p(x) + f(x+1)} + \sqrt{p(x) + g(x+1)}} \\ &\leq 2^{-x/2} \cdot \frac{2^{(x+1)/2} \| f - g \|}{2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \| f - g \|. \end{align*}

Por lo $\Phi$ es una asignación de contracción en $\mathcal{A}$, y por lo tanto, mediante la asignación de contracción teorema,

• No existe una única $F \in \mathcal{A}$ para que $\Phi[F] = F$, y
• Tal $F$ se dio cuenta de que el límite de $\Phi^{\circ n}[f]$ como $n\to\infty$ arbitrarias de elección inicial $f \in \mathcal{A}$.

Por último, ya sabemos que el $F(x) = x+2$ es un elemento de $\mathcal{A}$ que resuelve $\Phi[F] = F$, y por lo tanto, $$ \forall f \in \mathcal{A} \ : \quad \lim_{n\to\infty} \Phi^{\circ n}[f](x) = x+2 $$

Answer 2

Tal vez funcione, $$3=\sqrt{3^{2}}=\sqrt{5+4}=\sqrt{5+\sqrt{16}}=\sqrt{5+\sqrt{11+5}}$ $ $$=\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{25}}}=\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+6}}}=\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{36}}}}$ $ $$=\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29+7}}}}=\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29+\sqrt{49}}}}}=\sqrt{5+\sqrt{11+\sqrt{19+\sqrt{29+\sqrt{41+8}}}}}=\ldots$ $

Esta es solo una hermosa forma de escribir 3.

Answer 3

Este es un poco más riguroso formulario de @Pablo_ es excelente visión. @Sangchul Lee cubre al completo, analítica respuesta.

Set $a_n = n^2 + 5n + 5$ para $n \geq 0$. Esta secuencia da los coeficientes de la "infinita radical." En lugar de considerar la totalidad infinita radical, considere la posibilidad de la "parcial radicales", definido como $$r_n = \sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + \cdots + \sqrt{a_n + (4 + n)}}}.$$

Como Pablo_Lee notas, $r_n = 3$ para todos los $n$. Para ver esto, observe que $a_n + (n + 4) = (n + 3)^2$. Esto nos permite "desenrollar" el radical de vuelta a $a_0$. Por ejemplo, $$a_{n - 1} + \sqrt{a_n + (n + 4)} = a_{n - 1} + n + 3 = a_{n - 1} + ((n - 1) + 4) = ((n - 1) + 3)^2.$$por lo Tanto, $$ \begin{align*} r_n &= \sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + \cdots + \sqrt{a_{n - 1} + \sqrt{a_n + (n + 4)}}}} \\ &= \sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + \cdots + \sqrt{a_{n - 1} + ((n - 1) + 4)}}} \\ &= \sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + \cdots + \sqrt{a_{n - 2} + ((n - 2) + 4)}}} \\ &\vdots \\ &= \sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + 5}} \\ &= \sqrt{a_0 + 4} \\ &= \sqrt{(0 + 3)^2} \\ &= 3. \end{align*} $$ (Es probable que una ingeniosa manera de hacer esto por inducción, pero no veo aún).

Si estamos dispuestos a definir el pleno radical como $\lim_{n \to \infty} r_n$, entonces esto debe ser también una respuesta aceptable.

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Edit: Para cualquier entero $r \geq 2$, establecimiento $p_n = n^2 + (2r - 1)n + r^2 - r - 1$ e $q_n = n + r + 1$ debe producir, a través de los mismos argumentos, $$r = \sqrt{p_0 + \sqrt{p_1 + \cdots + \sqrt{p_n + q_n}}}$$ for all $n \geq 0$. Note that $p_n$ is merely a shifted form of the Fibonacci polynomial $n^2 - n - 1$ en valores enteros.

Por ejemplo, $$4 = \sqrt{11 + \sqrt{19 + \sqrt{29 + \sqrt{41 + 8}}}}.$$