¿Una caracterización del subgrupo de$\text{GL}(\bigwedge^k V)$ que preserva los tensores puros?

Question

Deje $V$ ser $d$-dimensiones reales de espacio vectorial, y deje $1<k<d$. Conjunto $$H=\{B\in\text{GL}(\bigwedge^k V) \, | \, B \,\text{ preserves pure tensors }\}$$

(es decir, $B \in H$ si se asigna descomponible elementos degradables elementos).

$H$ es un cerrado subgrupo de la Mentira de grupo $\text{GL}(\bigwedge^k V)$, por lo que es un integrado Mentira subgrupo de ella. Podemos caracterizar de manera explícita? ¿Qué es $\dim H$? ¿Cómo funciona su Mentira álgebra?

Aquí es un límite inferior: El exterior del mapa de poder $\psi:\text{GL}( V) \to \text{GL}(\bigwedge^k V)$ definido por $\psi(A)=\bigwedge^k A$ es un buen inmersión*. Desde $\text{Image}(\psi)\subseteq H$, $\dim H \ge \dim \text{GL}( V) =d^2$.

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Yo creo que esto podría estar relacionado con la siguiente pregunta: Vamos a $\omega^I$ ser una base para $\bigwedge^kV$, cuyos elementos son todos los descomponible. Es $\omega^I$ "inducida" por un estándar de base, es decir, $\omega^{i_1,\ldots,i_k}=v^{i_1} \wedge \ldots \wedge v^{i_k}$ para alguna base $v_i$?

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*Una forma de ver que el exterior del mapa de poder $\psi$ es una inmersión, es que es localmente inyectiva homomorphism de la Mentira de los grupos, y, en particular, tiene una constante de rango. El local de inyectividad (que viene del hecho de que $\bigwedge^k A=\bigwedge^k B \Rightarrow A= \pm B$) implica entonces que $\psi$ es una inmersión, debido a la constante rango teorema.

Answer 1

Aquí es una solución para el caso en que $V$ es un complejo espacio vectorial. (Supongo que el caso real puede ser reducido hasta el más complejo, ver algunas sutiles puntos por debajo). Resulta que $H$ es bastante restringido: Cuando $d \neq 2k$, $H=\text{Image}(\psi)$, es decir, cada mapa en el que se conserva puro tensores es una potencia exterior de algunos $A \in \text{GL}$.

Cuando $d=2k$, además, disponemos de automorfismos, de la forma $\star \circ \bigwedge^k A$, donde $\star:\bigwedge^k V \to \bigwedge^k V$ es el dual de Hodge operador w.r.t algunos fija métrica en $V$.

Para una referencia, consulte aquí.

Aquí están algunas de las preguntas naturales que surgen de esta pretensión de representación:

1. Es esta representación redundante de alguna manera?

es decir, si $\star$ es igual a la parte exterior del poder, entonces no es un "verdadero" además del subgrupo $H$. Sin embargo, la Hodge no es nunca una potencia exterior: en efecto, supongamos que $\star=\bigwedge^k A$ para algunos $A \in \text{GL}(V)$. Deje $v_1,\dots,v_d$ ser un ortonormales base para $V$.

$\text{span}(Av_1,\dots,Av_k)=\text{span}(v_{k+1},\dots,v_d)$. Conmutación $v_k$ e $v_{k+1}$, también podemos deducir que $\text{span}(Av_1,\dots,Av_{k-1},Av_{k+1})=\text{span}(v_k,v_{k+2},\dots,v_d)$, lo $$\text{span}(Av_1,\dots,Av_{k-1})= \text{span}(v_{k+2},\dots,v_d).$$

En particular, hemos demostrado que para cualquier base ortonormales $v_1,\dots,v_{k-1},v_{k},v_{k+1},\dots,v_d$, $$\text{span}(Av_1,\dots,Av_{k-1}) \subseteq \text{span}(v_{k+2},\dots,v_d). \tag{1}$$ Now, switching between $v_{k+1}$ and $v_{k+2}$, esto también implica
$$\text{span}(Av_1,\dots,Av_{k-1}) \subseteq \text{span}(v_{k+1},v_{k+3},v_{k+4},\dots,v_d) \tag{2}.$$

La combinación de $(1)$ e $(2)$ juntos, podemos deducir que $$\text{span}(Av_1,\dots,Av_{k-1}) \subseteq \text{span}(v_{k+3},\dots,v_d)$$ , which implies that $Un$ maps the $k-1$ dimensional space $\text{span}(v_1,\dots,v_{k-1})$ to the $k-2$ dimensional space $\text{span}(v_{k+3},\dots,v_d)$, i.e. $$ is not invertible. This implies $\bigwedge^k$ es también singular, por lo que no puede ser igual a un dual de Hodge. Contradicción.

2. ¿Qué acerca de automorphism de la forma $\bigwedge^k \circ \estrella de$? or $\estrellas \bigwedge^k \circ \estrella$?

Así, el uso de la igualdad de $\star \circ \bigwedge^k A=\det A \bigwedge^k A^{-T} \circ \star=\bigwedge^k (\sqrt[k]{\det A}\cdot A^{-T} )\circ \star$ podemos "mover" $\star$ a partir de un lado de la $\bigwedge^k A$ a la otra. (Aquí hemos utilizado el supuesto de que $V$ es un complejo espacio vectorial, ya que de lo contrario $\sqrt[k]{\det A}$ no existe si $k$ es aún, y $\det A<0$). Tal vez en ese caso se necesita para permitir la multiplicación de los exteriores de las potencias negativas de escalares).

3. ¿Cómo podemos dar cuenta de todos los diferentes Hodge duales de todas las diferentes métricas, mediante el operador de Hodge inducida por una sola métrica?

Desde el mapa de $g \to \star_g$ es suave y inyectiva hasta un reescalado de conformación de la métrica (que es $\star_g=\star_h$ si y sólo si $g=ch$ ), se espera que obtiene un continuo de familia de diferentes Hodge duales de dimensión $\dim(\text{Psym_d})-1$, por lo que la dimensión de $H$ debe aumentar en consecuencia. Sin embargo, esto no es realmente lo que sucede, ya que podemos o expresar cada Hodge dual en términos de un representante específico, por compensar la diferencia a través de la parte exterior del poder de la mediación de un mapa.

(En realidad, creo que nos puede inducir a una Hodge doble uso de cualquier no-degenerada forma bilineal, simétrica o no). Aquí están los detalles:

Supongamos $g,h$ son dos métricas en $V$. Entonces podemos escribir $g(v,w)=h(v,Tw)$ para algunos $T \in \text{GL}(V)$. Es obvio que $T$ es $h$-positivo, y $h$-simétrica, por lo tanto, no existe un únicas $\sqrt T$ que también es $h$-positiva y simétrica. Por lo tanto, tenemos $g(v,w)=h(\sqrt Tv,\sqrt Tw)$, es decir, $\sqrt T:(V,g) \to (V,h)$ es una orientación de la preservación de la isometría, por lo que los desplazamientos con el dual de Hodge, es decir,

$\bigwedge^k \sqrt T \circ \star_g= \star_h \circ \bigwedge^k \sqrt T$. Así, ahora podemos escribir

$$\star_g \circ \bigwedge^k A=\bigwedge^k \sqrt T^{-1} \circ \star_h \circ \bigwedge^k \sqrt T A,$$

y ya sabemos cómo se mueven $\star_h$ a partir de un lado de una potencia exterior para el otro lado (ver punto $2$), esta representación puede ser reducido a $\star_h \circ \bigwedge^B$ para algunos $B \in \text{GL}(V)$.

Del mismo modo, podemos representar a las criaturas de la forma de $\star_h \circ \star_g$...expresando $\star_g$ través $\star_h$ o vice-versa.