En un triángulo agudo ABC, la base BC tiene la ecuación $4x – 3y + 3 = 0$ . Si las coordenadas del ortocentro (H) y del circuncentro (P).

Question

En un triángulo agudo ABC, la base BC tiene la ecuación $4x – 3y + 3 = 0$ . Si las coordenadas de el ortocentro (H) y el circuncentro (P) del triángulo son $(1, 2)$ y $(2, 3)$ respectivamente, entonces el radio del círculo que circunscribe el triángulo es $\dfrac{\sqrt m}{n}$ donde m y n son relativamente primos. Encuentre el valor de (m+ n).

(Puede utilizar el hecho de que la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo es dada por $R \sqrt{1 – 8\cos A\cos B\cos C}$ )

Intento: He encontrado $R$ tomando la reflexión ( $A$ ) de $H$ sobre $BC$ y luego encontrar la distancia entre $P$ y $A$ . Pero, no puedo averiguar cómo resolver el problema utilizando la pista dada.

Answer 1

Como está buscando una forma diferente de resolver su pregunta, aquí tiene una.

Observe la siguiente figura: proporciona posiciones para $A,B,C$ que cumplan con todas las restricciones :

Fig. 1.

¿Cómo es posible obtener estos puntos (a partir de los cuales el extraño resultado que se le pide es fácil de calcular)?

En primer lugar, transformemos la ecuación implícita de la recta $BC$ en una forma paramétrica ; al pasar por el punto $\binom{0}{1}$ con el vector director $\binom{3}{4}$ podemos escribir :

$$\binom{x}{y}=\binom{0}{1}+t\binom{3}{4} \ \iff \ \begin{cases}x&=&3t\\y&=&1+4t\end{cases}\tag{1}$$

En particular, las coordenadas de $B$ y $C$ son resp.

$$\begin{cases}x_B&=&3b\\y_B&=&1+4b\end{cases} \ \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ \begin{cases}x_C&=&3c\\y_C&=&1+4c\end{cases}\tag{2}$$

para valores específicos $b, \ c$ del parámetro $t$ .

Además, $A$ pertenece a la línea recta que pasa por $H$ y ortogonal a $BC$ la forma paramétrica de esta línea recta se encuentra fácilmente para ser :

$$\binom{x}{y}=\binom{1}{2}+t\binom{4}{-3} \ \ \ \iff \ \ \ \begin{cases}x_A&=&1+4a\\y_A&=&2-3a\end{cases}\tag{3}$$

Ahora, localicemos las restricciones : ya que necesitamos tres valores precisos para $a,b,c$ necesitamos tres restricciones. Aquí están :

$$PA^2=PB^2=PC^2 \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CH},\tag{4}$$

dando lugar, utilizando (2) y (3), al siguiente sistema :

$$(1+4a-2)^2+(2-3a-3)^2=(3b-2)^2+(1+4b-3)^2=(3c-2)^2+(1+4c-3)^2$$ $$(3b-1)(1+4a-3c)+(1+4b-2)((2-3a)-(1+4c))=0\tag{5}$$

que se resuelve fácilmente mediante un CAS dando los siguientes valores de los parámetros $a,b,c$ (tenga en cuenta que $b$ y $c$ se puede intercambiar) :

$$a=\frac{4}{25}, \ \ b=\frac{14+3\sqrt{6}}{25}, \ \ c=\frac{14-3\sqrt{6}}{25}\tag{6}$$

Aquí está el programa Matlab que ha dado estos valores y la Fig. 1 :

% First part : solving constraints in order to obtain parameters values
syms a b c : % symbolic variables
% 3 equations (5) :
eq1=(1+4*a-2)^2+(2-3*a-3)^2==(3*b-2)^2+(1+4*b-3)^2; 
eq2=(1+4*a-2)^2+(2-3*a-3)^2==(3*c-2)^2+(1+4*c-3)^2; 
eq3=(3*b-1)*(1+4*a-3*c)+(1+4*b-2)*((2-3*a)-(1+4*c))==0; 
[A,B,C]=solve([eq1,eq2,eq3],a,b,c)
%
% second part : plotting the only significant result :
clear all;close all;hold on;axis equal;grid on;
xH=1;yH=2;plot(xH,yH,'*r');text(xH+0.1,yH,'H');
xP=2;yP=3;plot(xP,yP,'*r');text(xP-0.2,yP,'P');
a=4/25;b=(14+3*sqrt(6))/25;c=(14-3*sqrt(6))/25;%param. values obtained in the first part;
xA=@(a)(1+4*a);yA=@(a)(2-3*a);plot(xA(a),yA(a),'ob');text(xA(a),yA(a)-0.2,'A')
xB=@(b)(3*b);yB=@(b)(1+4*b);plot(xB(b),yB(b),'ob');text(xB(b),yB(b)+0.1,'B')
xC=@(c)(3*c);yC=@(c)(1+4*c);plot(xC(c),yC(c),'ob');text(xC(c)-0.2,yC(c),'C')
plot([xC(c),xA(a),xB(b),xC(c)],[yC(c),yA(a),yB(b),yC(c)]);

Observaciones :

1) Las relaciones (4) tienen en cuenta las propiedades características

• del circuncentro (el punto único a igual distancia de cada vértice),

• del ortocentro (la intersección de 2 altitudes; no olvidemos que hemos considerado previamente $A$ para pertenecer a la altitud opuesta a $BC$ ).

2) Hay otras soluciones para $a,b,c$ que (6) ; pero ninguna es satisfactoria ; algunas son con números complejos (!), otras generando triángulos no agudos, y en particular un triángulo plano.

3) $b$ y $c$ son raíces de la misma ecuación cuadrática. Es muy comprensible porque $B$ y $C$ desempeñan papeles intercambiables.

Answer 2

Esta es otra forma (aún sin usar la pista).

\begin{align} \text{Orthocenter of $\triangle ABC$: }\quad H&=(1,2) ,\\ \text{Circumcenter of $\triangle ABC$: }\quad O&=(2,3) ,\\ \text{Centroid of $\triangle ABC$: }\quad M&=\tfrac13(H+2O)=(\tfrac53,\tfrac83) . \end{align}

La línea que atraviesa $BC$ : \begin{align} y&=\tfrac43x+1 , \end{align}

la línea $OD\perp BC$ : \begin{align} y&=-\tfrac34 x+\tfrac92 . \end{align}

El punto $D$ es el centro del lado $BC$ :

\begin{align} D&=(\tfrac{42}{25},\tfrac{81}{25}) . \end{align}

Ahora el vértice $A$ de la $\triangle ABC$ se puede encontrar como \begin{align} A&=M+2(M-D) =(\tfrac{41}{25},\tfrac{38}{25}) , \end{align}

y el radio del círculo circunscrito es

\begin{align} R&=|O-A|= \sqrt{ \left(\frac{50-41}{25}\right)^2 +\left(\frac{75-38}{25}\right)^2 } = \frac{\sqrt{58}}5 . \end{align}

Dado $R=\frac{\sqrt{m}}n$ , $m$ y $n$ se puede encontrar como

\begin{align} m&=58 ,\\ n&=5 . \end{align}

Answer 3

Solución utilizando la pista dada:
La distancia del ortocentro (H) al lado BC es $2R\cos B\cos C$ y la del circuncentro (P) de BC es $R\cos A$ donde R es el circunradio. Hallando estas distancias utilizando la geometría de coordenadas y equiparando obtenemos:
$$2R\cos B\cos C=\frac{1}5$$ $$R\cos A=\frac{2}5$$ De esto obtenemos:
$$\cos A\cos B\cos C=\frac{1}{25R^2}$$
La distancia entre P y H es $\sqrt{2}$ . Así,
$$R \sqrt{1 – 8\cos A\cos B\cos C}=\sqrt{2}$$
$$R=\frac{\sqrt{58}}{5}$$
$$m=58,n=5$$