Los llamados pseudovectores aparecen en física cuando se habla de cantidades definidas por productos cruzados, como el momento angular $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ . Bajo la transformación activa $\mathbf x \mapsto \mathbf{-x}$ afirmamos que dicho vector se mapea a sí mismo porque $\mathbf{-r} \times \mathbf{-p} = \mathbf r\times\mathbf p$ . (O bajo la transformación pasiva equivalente, un pseudovector se convierte en su negativo). Pero parece que estamos pretendiendo que una transformación lineal $T$ conservan los productos cruzados, por lo que $T(\mathbf a \times \mathbf b) = T(\mathbf a) \times T(\mathbf b)$ y luego, cuando las cosas no van como se esperaba, etiquetamos el resultado como un pseudovector. ¿Hay algo más en la historia?
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En tres dimensiones, los pseudovectores son una forma sencilla de tratar bivectores , subespacios planos orientados. Los vectores verdaderos son subespacios lineales orientados con un peso (sus magnitudes); los bivectores son planares en lugar de lineales. Los vectores normales a estos subespacios orientados son lo que solemos llamar pseudovectores Y es por esta razón que varias operaciones (como las reflexiones o las inversiones a través del origen) producen resultados "erróneos".
Notablemente, tratamos directamente con un bivector formando un producto cuña de vectores. Es decir, el bivector formado por los vectores $a,b$ es $a \wedge b$ . Dado un operador lineal $\underline T$ , nosotros definir la acción del operador lineal sobre un bivector por la siguiente ley:
$$\underline T(a \wedge b) \equiv \underline T(a) \wedge \underline T(b)$$
Consideremos el caso simple de $\underline T(a) = -a$ para cualquier $a$ . Entonces el bivector asociado se transforma como $\underline T(a \wedge b) = -a \wedge -b = a \wedge b$ como usted observa. Hacerlo de esta manera por definir la acción de un operador lineal sobre un bivector- hace que sea sensible, en lugar de decir simplemente que los pseudovectores se transforman de forma diferente a los vectores regulares. En este caso, se construir el operador según una regla específica, y el resultado es determinista.
Nótese que podemos seguir construyendo cosas con cuñas que las formulaciones tradicionales del álgebra vectorial y el cálculo tienden a pasar por alto. Podemos definir la acción de un operador lineal sobre tres vectores encajados.
$$\underline T(a \wedge b \wedge c) = \underline T(a) \wedge \underline T(b) \wedge \underline T(c)$$
La cantidad $a \wedge b \wedge c$ se llama trivector o pseudoescalera . En tres dimensiones, sólo hay un trivector unitario linealmente independiente, $\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$ . La acción de $\underline T$ en este objeto es muy interesante. Sucede que
$$\underline T(\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z) = \hat x \wedge \hat y \wedge \hat z \, \det \underline T$$
Esto puede tomarse como un definición del determinante, definido de forma totalmente geométrica.
En última instancia, sin embargo, sí, los operadores lineales deben actuar individualmente sobre los vectores que los componen: deben preservar los productos de cuña. Sin embargo, los productos cruzados están relacionados con las cuñas, por lo que la mayoría de las veces, aplicar un operador lineal para preservar los cruces es sensato, pero hay algunas veces (entre ellas la inversión y las reflexiones) que no lo es.
Editar: sobre las relaciones entre operadores sobre duales y duales de operadores. La estrella de Hodge está mucho, mucho mejor tratada en el álgebra geométrica como multiplicación por el pseudoescalar. Definimos $i \equiv \hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$ y dar sentido a expresiones como $\star a = i a$ y $\star (a \wedge b) = -i (a \wedge b)$ a través de la producto geométrico . Aquí están las propiedades canónicas del producto geométrico:
- $\hat u \hat u = 1$ para algún vector unitario $\hat u$
- $\hat u \hat v = - \hat v \hat u$ para dos vectores unitarios ortogonales $\hat u, \hat v$
- $(ab)c = a(bc)$ --es decir, la asociatividad-- para tres vectores $a, b, c$
Deberías ser capaz de demostrar entonces que $i = \hat x \hat y \hat z$ y que $\star a = i a$ captura la operación estrella de Hodge sobre un vector.
Ahora bien, ¿por qué molestarse con este material? Porque hace muy sencillas las fórmulas que serían feas y torpes con la estrella de Hodge. Existe una fórmula sencilla que relaciona el adjunto (en el espacio euclidiano, el transponer ) de un operador con la inversa. Es decir,
$$\overline T^{-1}(a) = [\underline T(i)]^{-1} \underline T(ia)$$
para cualquier multivectorial $a$ , donde $\overline T$ es el operador adjunto a $\underline T$ . Escrito con estrellas de Hodge, necesitaríamos un término de $(-1)^k$ que se alternarían en función del grado, y todo sería un auténtico lío. Sin embargo, esta fórmula, escrita en álgebra geométrica, es totalmente sencilla.
Ahora bien, las rotaciones y reflexiones pertenecen al grupo de los operadores lineales ortogonales, obedeciendo $\overline T^{-1} = \underline T$ Así que para las rotaciones y reflexiones obtenemos en su lugar,
$$\underline T(a) = \frac{1}{\det \underline T} i^{-1} \underline T(ia)$$
o, más sencillamente,
$$(\det \underline T) i \underline T(a) = \underline T(ia)$$
En la notación estelar de Hodge, para cualquier vector $a$ ,
$$(\det \underline T) \star[\underline T(a)] = \underline T(\star a)$$
Para una rotación, el determinante es $+1$ y como tal, el $i$ simplemente se retira. Girar el vector y luego encontrar el dual es lo mismo que girar el dual. Para una inversión, el determinante es $-1$ y puedes ver cómo la inversión del vector se cancela por el factor del determinante.
Esta es otra forma de verlo. En la transformación activa $$\begin{eqnarray*} {\bf r}\times{\bf p} &=& r_i p_j \epsilon_{i j k} {\bf e}_k \qquad \textrm{(component expression for cross product)} \\ &\to& (-r_i) (-p_j) \epsilon_{i j k} {\bf e}_k \qquad \textrm{(only components change under active transformation)}\\ &=& {\bf r}\times{\bf p}. \end{eqnarray*}$$ Por encima de $\epsilon_{i j k}$ es el Símbolo de Levi-Civita , ${\bf e}_i$ es la base, y La convención de suma de Einstein se utiliza.
