Suponga $f$ es Lebesgue medible y acotada en $[0,1]$ y que $$\int_{0}^{1}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}\;dx\to0\;\text{as}\;h\to0.$$ Mostrar que $f$ es constante para casi todas las $x$$[0,1]$.
Mi pregunta se refiere a mi propuesta de prueba a continuación. En ningún momento puedo confiar en el acotamiento de $f$$[0,1]$, sólo su capacidad de medición y así que sospecho que mi razonamiento es defectuoso y agradecería a alguien que podría (en su respuesta) examinar y corregir mi prueba.
(Propuesta) De La Prueba. Supongamos primero que $h\to0^{+}$ y supongamos que podemos intercambio de los dos límites. A continuación, desde la diferencia de los cocientes son no negativos, llegamos a la conclusión de $f'(x)$ existe y es igual a $0$ para casi todas las $x$$[0,1]$, y la demanda de la siguiente manera. (Como se ha señalado, que no necesariamente conocen el límite de la integrands existe aun cuando asumimos que el intercambio es válido, aunque esto probablemente no es difícil razonar la forma de -- más contundente es la de abajo.)
El objetivo se convierte rápidamente a la justificación de este intercambio. Para ello, la presunción de la existencia del límite anterior implica que para cualquier $0<M<\infty$ existe algún número real positivo $h(M)$ tal que para cualquier $h<h(M)$ hemos
$$\left|\int_{0}^{1}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}\;dx\right|<M.$$
Desde $m([0,1])=1$ (en particular, estamos integrando a través de un conjunto finito de medida) y la diferencia de los cocientes son no negativos, llegamos a la conclusión de que
$$\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}<M\;\text{a.e.}\;x.$$
Desde esta obligado es independiente de $h$ una vez $h<h(M)$, se deduce que en algún punto a lo largo de la secuencia de cada una de las diferencia de los cocientes es pointwise una.e. dominado por $M$, que es integrable sobre cualquier conjunto finito de medida. Por lo tanto el intercambio de los límites mencionados anteriormente es válido, y con el caso de $h\to0^{-}$ ser tratada de la misma manera, la demanda está probado.
(Como el comentario señala, no podemos concluir nada acerca de la parte superior (o inferior), vinculado de una función basada en el valor de su integral, incluso si la integración se lleva a cabo sobre un conjunto finito de medida y el integrando en cuestión es no negativa; aproximaciones a la identidad de servir o de lo contrario ovas funciones en conjuntos de medida pequeña como ejemplos de lo contrario.)
Edit. Fatou del lema implica $$\int_{0}^{1}\liminf_{h\to0}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}\;dx\leq\lim_{h\to0}\int_{0}^{1}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}\;dx=0.$$ De ahí $$\liminf_{h\to0}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}=0\;\text{a.e.}\;x.$$ (El $\liminf$ del curso existe sin más justificación.)
Ahora necesitamos una manera de obtener el mismo para $\limsup_{h\to0}\frac{|f(x+h)-f(x)|}{h}.$ Esto podría lograrse, por que muestra el límite existe bajo la hipótesis dada, en cuyo caso el $\liminf$ es igual a la $\limsup$. Alguna idea de cómo ejecutar esta, o de otra manera de abordar el problema?
Me pregunto también si el original de mi argumento anterior podría ser modificado teniendo en cuenta la supuesta acotamiento de $f$ a fin de excluir la posibilidad de que su diferencia de cocientes de formar un "ovas" secuencia de integrands.
Edit. Aquí es otro enfoque que estoy considerando por publicar esta pregunta contra-Ejemplo (o Prueba) a $\int_{0}^{1}f_{n}\;dx\to0$ Implica $f_{n}\to0$.e. $x$ Siempre $f_{n}\geq0$.
Pedro Tamaroff menciona el tipo de escritor secuencia de ser un contra-ejemplo para el post enlazado.
