Considere una teoría simétrica$SO(N)$ de los campos escalares reales$N$,$$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda(\Phi^a \Phi^a)^2.$$For the quantum theory, consider the $ SO (N)$ charges $ \ hat {Q} _ {ab} = \ int d ^ 3 \ textbf {x} \, \ hat {J} _ {ab} ^ 0$. Why do the charges $ \ hat {Q} _ {ab}$ have correct commutation relations of the generators of the $ SO (N) $ ¿simetría?
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Stefano
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Consideremos la correspondiente teoría Hamiltoniana, por lo que tenemos una noción de un colector que podemos utilizar para formar una Mentira álgebra soporte. Por otra parte, vamos a considerar la teoría clásica de la simplicidad. A continuación, el corchete de Poisson $$\tag{1} \{\Phi^a({\bf x}),\Pi_b({\bf y})\}_{PB}~=~\delta^a_b~\delta^3({\bf x}-{\bf y}), \qquad \text{etc},$$ desempeña el papel de colector.
El Hamiltoniano de Lagrange de la densidad de ${\cal L}_H$ de OP a la teoría de la forma $$\etiqueta{2} {\cal L}_H~=~ \Pi_a \dot{\Phi}^a -{\cal H}, \qquad {\cal H} ~=~ \frac{1}{2} \Pi^2 +{\cal V}(\Phi^2, (\nabla\Phi)^2) ,$$ donde hemos introducido la notación $$\tag{3} \Phi^2 :=\Phi^a g_{ab} \Phi^b, \qquad \Pi^2 :=\Pi^a g_{ab} \Pi^b, \qquad \text{etc}. $$
Aquí el $o(N)$-índices de $a,b,\ldots,$ se levantó y bajó con una constante métrica $g_{ab}$. El $O(N)$ simetría $$\tag{4} \delta \Phi^a ~=~ \varepsilon \{\Phi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Phi^b, \quad \delta \Pi^a ~=~ \varepsilon \{\Pi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Pi^b, \qquad $$ ha generadores $$\tag{5} Q[\omega]~:= \frac{1}{2}\omega_{ab} Q^{ab} ~=~\Pi^a\omega_{ab}\Phi^b, \qquad Q^{ab}~:=~\int\! d^3x\left( \Pi^a\Phi^b-\Phi^a\Pi^b\right), $$ donde $$\tag{6} \omega_{ab}~=~-\omega_{ba} $$ son anti-simétrica de las matrices.
No es difícil comprobar que los generadores (5) equipado con el corchete de Poisson (1) forma una $o(N)$ Mentira-álgebra. Ver también esta relacionada con Phys.SE post.
El Noether cargos son el generador de la simetría, como es siempre el caso para Hamiltonianos teorías, cf. por ejemplo, este Phys.SE post. Esto también puede ser confirmados en el caso anterior.
Llegamos a la conclusión de que la Noether cargos (5) forma una $o(N)$ Mentira álgebra.
Finalmente, parece que el OP también está pidiendo una cuestión más general de si la simetría de cualquier acción levanta a una simetría de la correspondiente Noether cargos? Esta es una buena pregunta y discute, por ejemplo, en este Phys.SE post. La respuesta es: No siempre! No puede ser clásica o cuántica obstrucción o anomalías, tales como la central de cargos y 2-cocycles.
