Si$f$ es continuo, entonces existe$x\in [0,1]: f(x)=x$

Question

Quiero probar el siguiente contradicción:

Deje $f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ ser una función continua. Demostrar que no existe $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=x$.

Lo que demuestra esta directamente, habría que definir una nueva función $g(x):=f(x)-x$ y demostrar que no existe $x\in [0,1]$ tal que $g(x)=0$, usando el Teorema del Valor Intermedio, por lo tanto $f(x)=x$. Pero yo estoy luchando para elaborar una prueba por contradicción.

Mi planteamiento es el siguiente. Supongamos por contradicción que no existe $x\in [0,1]$ tal que $f(x)=x$. A continuación, para todos $x\in [0,1]$, $f(x)\neq x$. A continuación, $f(x)>x$ o $f(x)<x$ todos los $x$. Aquí es donde no estoy seguro de si es correcto.

Si $f(x)>x$ todos los $x\in [0,1]$, vamos a $x:=1$. A continuación, $f(1)>1 \implies f(1)\notin [0,1]$ lo cual es una contradicción, porque $f$ se definió en $[0,1]$

Si $f(x)<x$ todos los $x\in [0,1]$, vamos a $x:=0$. A continuación, $f(0)<0 \implies f(0)\notin [0,1]$ conducen a la misma contradicción que el anterior.

Soy escéptico porque mi contradicción no implica $f$s de continuidad. Es la prueba de la correcta? Si no, ¿cómo puedo abordar esta contradicción? Gracias.

Answer 1

Si usted insiste en una prueba por contradicción, aquí está uno, basado en su argumento:

Supongamos $g$ no tiene ningún cero. Entonces, por el Teorema del Valor Intermedio, $g(x)>0$ todos los $x\in [0,1]$ o $g(x)<0$ todos los $x\in [0,1]$. (Aquí se ha utilizado la continuidad de $g$, que es equivalente a la continuidad de $f$.) En el primer caso, $g(1)>1$. En el segundo caso, $g(0)<0$. En cualquier caso, se entiende la contradicción.

El estándar de prueba es una prueba directa, no por la contradicción, y me parece más sencillo:

Si $f(0)=0$ o $f(1)=1$, entonces usted ha encontrado un punto fijo de $f$. De lo contrario, $f(0)>0$$f(1)<1$$g(0)>0$$g(1)<0$. El Teorema del Valor Intermedio ahora le da un cero de $g$ y este es un punto fijo de $f$.

Answer 2

También podría escribirlo así: suponga que$f$ no tiene un punto fijo, entonces$f(0) >0$ y$f(1) < 1.$ Por lo tanto,$g(x) = x-f(x)$ es negativo en$x =0$ y positivo en$x =1.$ Dado que$g(x)$ es continuo, debemos tener$g(x) = 0$ para algunos$x \in (0,1)$ según el teorema del valor intermedio, así que$f(x) = x$ para este$x,$ contrario a nuestra suposición .