Si$f,g$ está completo y$\mathrm{Re}(f(z))\leq\mathrm{Im}(g(z)), \forall z\in\mathbb{C}$, entonces qué relación simple se puede establecer entre$f,g$.

Question

Actualmente estoy estudiando para un examen, y estoy atascado en el siguiente problema de práctica.

Si$f,g$ está completo y$\mathrm{Re}(f(z))\leq\mathrm{Im}(g(z)), \forall z\in\mathbb{C}$, entonces qué relación simple se puede establecer entre$f,g$.

Answer 1

Como Greg Martin, y Evan se señaló en los comentarios, ayuda a la introducción de $h=f+ig$, que es todo y satisface $\operatorname{Re}h\le 0$. La función de $e^h$ también es todo y está delimitado por la $1$, por lo tanto constante por Liouville teorema. Desenvolver este, a la conclusión de que $f+ig$ es una constante con valor no positivo de la parte real.

Esta pregunta es casi un duplicado (pero no lo suficientemente cerca para ser cerrado) de

• Deje $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ estar total y $\exists M \in\mathbb{R}:$Re$(f(z))\geq M$ $\forall z\in\mathbb{C}$. Demostrar $f(z)=constant$
• El teorema de Liouville problema