Prueba de desigualdad con$a,b,c,d$ con$d =\max(a,b,c,d)$

Question

Deje$a,b,c,d$ números reales positivos con$d= \max(a,b,c,d)$. Prueba de que

PS

• Creo que la desigualdad GM-AM con las variables$$a(d-c)+b(d-a)+c(d-b)\leq d^2$ podría ser útil.

PS

También sabemos que la media geométrica está delimitada de la siguiente manera:

$$ \ min \ {x_1, x_2, \ dots x_n \} \ le \ frac {x_1 + \ dots + x_n} {n} \ le \ max \ {x_1, x_2, \ dots x_n \} $$

** También traté de dibujar un cuadrado y algunos rectángulos, pero nada funcionó.

Answer 1

Considere el polinomio$$f(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc$ $ que tiene$a,b,c$ como raíces. Tenemos$$f(d)=d^3-(a+b+c)d^2+(ab+bc+ac)d-abc=d\cdot(RHS-LHS)-abc $ $ y$f(d)=(d-a)(d-b)(d-c)\ge0$.

O en breve$$ a(d-c)+b(d-a)+c(d-b)=(a+b+c)d-(ac+ab+bc)\\=\frac{d^3-(d-a)(d-b)(d-c)-abc}{d}\le d^2$ $

Answer 2

Dividir ambos lados por $d^2$ para obtener un equivalente de la desigualdad:

$\dfrac{a}{d}\cdot \left(1 - \dfrac{c}{d}\right) + \dfrac{b}{d}\cdot \left(1 - \dfrac{a}{d}\right) + \dfrac{c}{d}\cdot \left(1 - \dfrac{b}{d}\right) \leq 1$.

Ahora vamos a $x = \dfrac{a}{d}$, $y = \dfrac{b}{d}$, y $z = \dfrac{c}{d}$, entonces : $0 \leq x, y, z \leq1$, y vamos a demostrar:

$x(1 - z) + y(1 - x) + z(1 - y) \leq 1$.

Considere la posibilidad de $f(x,y,z) = x(1 - z) + y(1 - x) + z(1 - y) - 1 = x + y + z - xy - yz - zx - 1$. Encontramos los puntos críticos de $f$. A fin de tomar las derivadas parciales:

$f_x = 1 - y - z = 0 \iff y + z = 1$

$f_y = 1 - x - z = 0 \iff x + z = 1$

$f_z = 1 - x - y = 0 \iff x + y = 1$.

Por lo tanto $\nabla{f} = 0 \iff x + y = y + z = z + x = 1 \iff x = y = z = \dfrac{1}{2}$. Por lo tanto el máximo de $f$ se produce en cualquiera de los valores críticos o el límite de puntos que son: $(x,y,z) = (0,0,0), (0,1,1), ..., (1,1,1)$. De estos valores, el max es $0$. Por lo $f(x,y,z) \leq 0$ que es lo que queremos demostrar.

Answer 3

La desigualdad, después de multiplicar y mover todo a un lado, es $$d^2-ad-bd-cd+ab+ac+bc\ge 0.\tag{1}$$ Desde $d=\max(a,b,c,d)$ $d-a,\ d-b,\ d-c$ es no negativa y así $$(d-a)(d-b)(d-c)\ge 0, \\ d^3-ad^2-bd^2-cd^2+abd+acd+bcd\ge abc,$$ donde en el último paso se trasladó a la $-abc$ plazo sobre el lado derecho. Ahora desde $a,b,c,d$ son positivos se pueden dividir ambos lados de esta última desigualdad por $d$, y obtener un $(1)$ como se desee, de hecho no es el límite inferior $abc/d$ por el lado izquierdo de $(1).$ Nota realmente sólo necesita $d>0$ (para justificar la división por $d$) y $a,b,c\ge 0$ para la conclusión de espera.