Cómo demostrar esta desigualdad $a_{n}>\frac{2n}{n+2}$

Question

Que la secuencia $\{a_{n}\}$ tal $a_{1}=1$ y tal $$a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{a^2_{n}}{(n+1)^2}$$\show que $$a_{n}>\dfrac{2n}{n+2}\tag{1}$$

Trato de usar la inducción, entonces es una pena que falló, porque $$a_{n+1}>\dfrac{2n}{n+2}+\dfrac{4n^2}{(n+1)^2(n+2)^2}$$ necesita mostrar $$\dfrac{2n}{n+2}+\dfrac{4n^2}{(n+1)^2(n+2)^2}>\dfrac{2(n+1)}{n+3}$$ desde $$\dfrac{2n}{n+2}+\dfrac{4n^2}{(n+1)^2(n+2)^2}-\dfrac{2(n+1)}{n+3}=-\dfrac{4(n^2+5n+2)}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)}$$

¿cómo se demuestra esto (1)? Gracias, tal vez $(1)$ es fácil demostrarlo.

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $n \in \mathbb{N}_+$ , $$ \frac{2n + 2}{n + 3} > \frac{2n}{n + 2} \Longleftrightarrow (n + 1)(n + 2) > n(n + 3), $$ por lo que basta con demostrar que $$ a_n \geqslant \frac{2n + 2}{n + 3}. \quad \forall n \in \mathbb{N}_+ \tag{1} $$ Para $n = 1$ , $\displaystyle a_1 = 1 = \frac{2 + 2}{1 + 3}$ por lo que (1) se mantiene. Supongamos ahora que (1) se cumple para $n$ entonces \begin {align*} a_{n+ 1} &= a_n + \frac {a_n^2}{(n + 1)^2} \geqslant \frac {2n + 2}{n + 3} + \frac {1}{(n + 1)^2} \left ( \frac {2n + 2}{n + 3} \right )^2 \\ &= \frac {2n + 2}{n + 3} + \frac {4}{(n + 3)^2} = \frac {2n^2 + 8n + 10}{(n + 3)^2}. \end {align*} Porque \begin {align*} \frac {2n^2 + 8n + 10}{(n + 3)^2} \geqslant \frac {2n + 4}{n + 4} & \Longleftrightarrow (n + 4)(n^2 + 4n + 5) \geqslant (n + 2)(n + 3)^2 \\ & \Longleftrightarrow n^3 + 8n^2 + 21n + 20 \geqslant n^3 + 8n^2 + 21n + 18, \end {align*} entonces $$ a_{n+ 1} \geqslant \frac{2n^2 + 8n + 10}{(n + 3)^2} \geqslant \frac{2n + 4}{n + 4} = \frac{2(n + 1) + 2}{(n + 1) + 3}. $$ Por inducción, (1) se mantiene.