Máximo de una función analítica en el disco de la unidad.

Question

Esta pregunta es una pregunta vieja, pero en esa pregunta una condición no se ha explicado bien.

Deje $f$ ser analítico de la unidad de disco $D$. Suponga que $f(r)=\max\limits_{|z|=r} |f(z)|$. (Tenga en cuenta que aquí no estamos definiendo una nueva función. Sólo significa que $f(z)$ alcanza su máximo en un punto de $z=r$.)

Por qué $f′(r)>0$ si $f$ no es una constante?

Y por qué si $f(0)=0$, $rf'(r)\geq f(r)$ y la igualdad ocurre si, y sólo si $f(z)=cz$ para algunos no negativo de la constante de $c$ ?

Por qué $f'(r)$ es un número real e incluso positivo? ¿Por qué no negativo o algún número complejo? Es bastante extraño para mí!

Answer 1

Defina$g(z) = f(z)/z$ si$z \neq 0$ y$g(z) = f'(0)$ si$z = 0$.

$g$ es analítico en el disco de la unidad. Además,$|g(z)| \leq g(r)/r$ en el círculo$|z| = r$.

Por el principio del módulo máximo,$|g(z)| \leq g(r)/r$ para todos los$|z| \leq r$.

Al volver a convertir a$f$, tenemos$|f(z)/z| \leq f(r)/r^2$, o$|f(z)| \leq |z|f(r)/r^2$ para todos$|z| \leq r$.

Estoy un poco atascado en este punto. Supongo que probablemente has llegado al menos a aquí.

Answer 2

Si la derivada fueron siempre negativos, se contradiría el principio del máximo: aumento de r ligeramente y se obtiene un límite con el más pequeño módulo que en el interior. Si alguna vez fuera cero, entonces por el teorema de Rolle (el de cálculo) los hay de distintos $r_1,r_2$$f(r_1)=f(r_2)$. Esto implica $f$ es constante por el máximo módulo de principio.

Pregúntate a ti mismo exactamente cuál de los supuestos de hecho necesarios aquí. La otra parte parece ser algo que usted está haciendo progresos. Es, definitivamente, Schwarz.

Answer 3

Suponemos que$|f(r)|>0$ de lo contrario$f=0$ y el resto es trivial. Define$g(z)=f(z)/f(r)$. Por lo tanto,$g:D\to D$ es analítico, por lo que podemos aplicar el lema de Schwartz. Esto nos dice que$|g(z)|\leq |z|$ en$D$ y tenemos$|g(r)|=1$. Esto solo puede mantenerse si$|r|=1$. Escribamos$r=\mathrm e^{\mathrm i\rho}$. Como tenemos la igualdad$|g(z)|=|z|$ para$z=r$, el lema dice que$g(z)=az$ con$|a|=1$. Escribamos$a=\mathrm e^{\mathrm i\alpha}$.
Hemos obtenido$f(z)=f(\mathrm e^{\mathrm i\rho})\mathrm e^{\mathrm i\alpha}z$, lo que resuelve el problema. (Tenga en cuenta en particular que$f'(r)=f(r)$)