Pregunta sobre los números de Fermat y los primos de Wiefrich

Question

Teorema 6.25. en el libro 17 Lectures on Fermat NUmbers From Number Theory to Geometry afirma:

Si sólo existen muchos números primos de Wieferich, entonces existen existen infinitos números de Fermat que no son potentes.

¿Significa eso que si alguien demuestra que los Números de Fermat son libres de cuadrados entonces se demuestra que sólo hay un número finito de primos de Wieferich?

Gracias

Answer 1

No, no es así. La proposición

"Si sólo existen primos de Wieferich finitos, entonces existen infinitos números de Fermat que no son poderosos"

sigue siendo verdadera cuando la conclusión es verdadera pero la premisa es falsa.

Answer 2

Los números de Fermat son coprima por pares . Así que dado un número primo $p$ (ya sea Wieferich o no Wieferich), sólo hay dos posibilidades: O bien:

1. $p$ divide un número de Fermat $F_m$ pero no divide otros Números de Fermat, o
2. $p$ no divide ningún número de Fermat

Por ejemplo $114689$ (no Wieferich) divide $F_{12}$ y ningún otro número de Fermat, mientras que $114691$ (no Wieferich) no divide ningún número de Fermat.

(Los dos primos de Wieferich conocidos están en el caso (2) anterior, por lo que no dividen números de Fermat, pero es concebible que existan otros primos de Wieferich que pertenezcan al caso (1)).

Consideremos ahora un primo $p$ y un número de Fermat $F_m$ que están tan relacionados (es decir, suponemos que $p|F_m$ ), entonces las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

• $p^2|F_m$ El cuadrado de $p$ divide el número de Fermat asociado
• $p$ es un primo de Wieferich

---

Es pensamiento que existen infinitos primos que no son de Wieferich, y también se piensa que existen infinitos primos de Wieferich.

Supongamos que la primera de estas conjeturas es falsa. Entonces todos los primos, con un conjunto finito de excepciones, son realmente Wieferich. De ello se desprende que todos los números de Fermat, salvo un número finito, están compuestos en su totalidad por números primos de Wieferich. Esto significa que todos los números de Fermat, excepto los finitos, son potente es decir, de la forma $a^2b^3$ para algunos enteros $a,b$ . Esto parece muy improbable, pero nadie lo ha refutado. También se seguiría que casi todos (sólo finitamente muchas excepciones) pernicioso Los números de Mersenne son potentes (en particular los compuestos).

Hasta ahora no se conoce ningún número de Fermat que no sea cuadrado, por lo que un solo caso de número de Fermat potente sería una tremenda sorpresa.

Pasemos a la otra conjetura, sobre la infinitud de los primos de Wieferich. Supongamos que esa conjetura resulta ser falsa. Entonces todos los números de Fermat, con la posible excepción de un número finito, no tienen cuadrado. En particular, si $\{1093,3511\}$ es el conjunto completo de los primos de Wieferich, entonces absolutamente todos los números de Fermat son libres de cuadrados (ya que $1093$ y $3511$ pertenecen al caso (2) anterior).

Recuerde que aunque existan infinitos primos de Wieferich, como se conjetura, eso no dice nada sobre cuántos de ellos dividirán los números de Fermat (o dividirán los números de Mersenne perniciosos).

A ti:

¿Significa eso que si alguien demuestra que los números de Fermat son libres de cuadrados entonces se demuestra que sólo hay un número finito de números primos de Wieferich?

No. Si alguien demuestra que todos los números de Fermat no son cuadrados, la implicación es sólo que todo primo de Wieferich no divide a un número de Fermat. Es decir, se deduce que todos los primos de Wieferich están en el caso (2) anterior.

Answer 3

Después de investigar un poco he encontrado http://en.wikipedia.org/wiki/Wieferich_prime#Connection_with_Mersenne_and_Fermat_primes . Allí se afirma que

" si sólo hay un número finito de números primos de Wieferich, entonces habrá a lo sumo un número finito de números de Mersenne que no sean libres de cuadrados. Rotkiewicz demostró que lo contrario también es cierto, es decir, que si hay infinitos números de Mersenne sin cuadrado, entonces hay infinitos primos que no son de Wieferich[37]. "

y el Teorema 6.26 del libro dice que si los números de Fermat son libres de cuadrados, también lo son los números de Mersenne (o al menos esto es lo que yo entendí). Así que lo tomo como: "Si los Números de Fermat son libres de cuadrados, entonces los Números de Mersenne son libres de cuadrados, ¡entonces hay infinitos primos no Wieferich!

¿Es válida mi interpretación?