Irreductibilidad de $x^{11}+x^{10}+x^{9}+\dots+x+1$

Question

Demostrar que $$g(x)=x^{11}+x^{10}+x^{9}+\cdots+x+1$$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

Esta es mi ( incorrecto -ver comentarios) intento

$$g(x)=\frac{(x-1)(x^{11}+x^{10}+x^{9}+\cdots+x+1)}{x-1}=\frac{x^{12}-1}{x-1},$$

Así que $$g(x+1)=\frac{(x+1)^{12}-1}{x}=x^{11}+12x^{10}+66x^{9}+\cdots+12.$$ Por el criterio de Eisenstein este polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}[x]$ desde $3$ divide $a_{i}$ donde $i=0,1,2...10$ pero $3^{2}$ no divide $a_{0}$ y $3$ no divide $a_{11}$ .

Supongamos para la contradicción $g(x)$ es reducible, lo que significa que $\exists p(x),q(x)\in\mathbb{Q}$ ambos sin unidad tal que $g(x)=p(x)q(x)$ . Por lo tanto, $$g(x+1)=p(x+1)q(x+1)\Longrightarrow g(x+1)$$ es reducible. Una contradicción.

Tengo curiosidad por saber cómo se demuestra este resultado.

Answer 1

Una pista:

No es cierto porque:

$$ (x^{12}-1)=(x^6+1)(x^6-1)=(x^6+1)(x^3+1)(x^3-1)= $$ $$ =(x^6+1)(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1) $$

y $$ (x^{12}-1)=(x-1)(x^{11}+x^{10}+ \cdots +x+1) $$