¿Alguien sabe si esta integral tiene una solución analítica?

Question

He llegado a través de la siguiente integral:

$$\int_{-\pi}^{\pi}\left[\frac{1}{A-R \cos(2\theta-\phi)}\right]^{\frac{N-1}{2}}d\theta$$

Sé cómo aproximado de esta integral usando el método de Laplace, sólo me preguntaba si:

a) ¿esta integral tiene una respuesta exacta?

b) ¿hay una mejor aproximación de Laplace método para esta integral? Si es así, ¿bajo qué condiciones sería mejor?

Mi pensamiento es que va a ser una función hipergeométrica (principalmente porque cada duro integral que he encontrado, se convierte en uno de estos). Condiciones (si se necesita)$A>R>0$, e $N$ es un número entero.

Answer 1

De Arce... $K$ $E$ son las integrales elípticas. $$ \int_{0}^{\pi} \sqrt{\frac{1}{2 - \operatorname{cos} (2 t)}} d t = \frac{2 \sqrt{3} K \Bigl(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{3}\Bigr)}{3} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2 - \operatorname{cos} (2 t)} d t = \frac{\pi \sqrt{3}}{3} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2 - \operatorname{cos} (2 t)}^{\frac{3}{2}} d t = \frac{2 \sqrt{3} E \Bigl(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{3}\Bigr)}{3} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \bigl(2 - \operatorname{cos} (2 t)\bigr)^{(-2)} d t = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{9} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2 - \operatorname{cos} (2 t)}^{\frac{5}{2}} d t = \frac{-2\sqrt{3} K \Bigl(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{3}\Bigr)}{27} + \frac{16 \sqrt{3} E \Bigl(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{3}\Bigr)}{27} $$ $$\int_{0}^{\pi} \bigl(2 - \operatorname{cos} (2 t)\bigr)^{(-3)} d t = \frac{\pi \sqrt{3}}{6} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2 - \operatorname{cos} (2 t)}^{\frac{7}{2}} d t = \frac{-32\sqrt{3} K \Bigl(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{3}\Bigr)}{405} + \frac{202 \sqrt{3} E \Bigl(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{3}\Bigr)}{405} $$ $$ \int_{0}^{\pi} \bigl(2 - \operatorname{cos} (2 t)\bigr)^{(-4)} d t = \frac{11 \pi \sqrt{3}}{81} $$

Esto sugiere una fórmula de reducción, junto con los dos primeros.

Answer 2

Si$N$ es impar, entonces el exponente es par, por lo que tiene una función racional de seno y coseno, por lo que la sustitución de Weierstrass debería funcionar: http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution