¿Hay funciones parabólicas y elípticas análogo al circular y sin(h),cos(h) de funciones hiperbólicas y tan(h)?

Question

¿Hay funciones parabólicas y elípticas análogo al circular y sin(h),cos(h) de funciones hiperbólicas y tan(h)?

¿También, en materia de secciones cónicas, hay otras propiedades que ayuda al círculo y la hipérbola, parábola y elipse en el otro grupo?

Answer 1

Elipses y círculos son "realmente" el mismo: un círculo es una elipse en la que la distancia focal es $0$. O, dicho de otra manera, de entre todas las elipses $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$ si usted va a elegir un "canónica" uno para definir algunas funciones, la opción natural es el uso de $a=b=1$, que sólo te lleva de vuelta a la unidad de círculo. Es decir, tratando de hacer "elíptica funciones trigonométricas" muy pronto cualquiera de las gotas en una elección arbitraria de los parámetros, o los regulares de la circular de funciones trigonométricas.

Ahora, de una manera en la que podemos "unificar" la circular y las funciones hiperbólicas es a través de la exponencial compleja: la circular de funciones trigonométricas corresponden a ciertas exponenciales con argumentos puramente imaginarios, mientras que el hiperbólico cuáles corresponden a puramente real argumentos: para $t$ un número real, $$\begin{align*} \cos t&= \frac{e^{it}+e^{-it}}{2} &\qquad \sin t &= \frac{e^{it}-e^{-it}}{2}\\ \cosh t &= \frac{{e^t}+e^{-t}}{2} & \sinh t &= \frac{e^t-e^{-t}}{2} \end{align*}$$

Donde estas? Un lugar para encontrarlos es la ecuación diferencial $$y'' + \lambda y = 0.$$ Si $\lambda\gt 0$, el conjunto solución es atravesado por $\cos(\sqrt{\lambda}\;t)$$\sin(\sqrt{\lambda}\;t)$. Usted obtener las funciones estándar mediante la normalización de con $\lambda=1$. Si $\lambda\lt 0$, entonces el conjunto solución es atravesado por $\cosh(\sqrt{|\lambda|t})$$\sinh(\sqrt{|\lambda|}t)$, y se obtiene el estándar de funciones mediante la normalización de con $\lambda=-1$.

Esto sugeriría buscando cualquier de los supuestos "parabólico de las funciones trigonométricas" en el único caso restante: $\lambda=0$ (esto corresponde al hecho de que si ver las secciones cónicas como siendo dado cortando un cono con un plano, se puede obtener la parábola en el límite entre elipses e hipérbolas). Pero la ecuación diferencial $y''=0$ tiene solución el espacio atravesado por $1$$t$, por lo que el natural "de las funciones parabólicas" son sólo $1$$t$.

Answer 2

[Cifras realmente podría ayudar a esta respuesta. Voy a ver si puedo añadir algunas más adelante.]

Según una definición, la circular y las funciones hiperbólicas parametrizar el círculo y la hipérbola (respectivamente) de acuerdo a una definición adecuada de "radian" la medida de un ángulo.

Deje $\angle IOP$ tiene su vértice en el origen, el punto de $I$$(1,0)$, y el punto de $P$ en algún lugar por encima de la $x$-eje. Para mayor comodidad, vamos a $P$ mentira sobre el círculo unidad ($x^2+y^2=1$), y vamos a ray $OP$ determinar el punto de $P^\prime$ en la unidad de "hipérbola" ($x^2-y^2=1$). A continuación, el (circular) radian medida de $\angle IOP$ es dos veces el área del sector circular $IOP$; y el hiperbólico de la medida radián es dos veces el área de la hiperbólico sector de la $IOP^\prime$ (siempre que el ángulo no mayor que la mitad de un ángulo recto). Por lo tanto,

• Definimos la circular de funciones trigonométricas llamando $T(\cos(t), \sin(t))$ el punto en el círculo unitario tal que $\angle IOT$ (circular) de la medida radián $t$.

• Podemos definir las funciones trigonométricas hiperbólicas llamando $T\,^\prime(\cosh(t), \sinh(t))$ el punto en la unidad de la hipérbola tal que $\angle IOT\,^\prime$ ha hiperbólico de la medida radián $t$.

(Es un ejercicio que vale la pena mostrar que las funciones hiperbólicas se definen en esta manera estándar, explícitas las representaciones en términos de $t$. He aquí un boceto: Rotación de la hipérbola $45$ grados y la escala apropiada de los rendimientos de la curva de $y=1/x$. A partir de allí, la definición de logaritmo natural, permite determinar el área de la hiperbólico sector de $T\,^\prime$, por lo que la exponencial aparece cuando revertir el proceso.)

No es del todo irrazonable para buscar la "parabólica" y "elíptica" (y, no lo olvidemos, "no-rectangularly hiperbólico"!) las variantes de estas funciones trigonométricas. (De hecho, hice la misma investigación como un estudiante de la escuela secundaria.) La clave es decidir exactamente lo que la curva de utilizar, y cómo asignar una "generalizada de la medida radián" a un ángulo dado. Voy a describir un enfoque que generaliza circular de funciones trigonométricas para los cónicos de cada excentricidad, $e$; la desventaja es que no coincide con el estándar hiperbólicas funciones trigonométricas para $e=\sqrt{2}$.

Simplemente generalizar la centrada en el círculo unidad a una cónica con foco en el origen y con "semi-latus rectum" longitud $1$. Más específicamente, dejando que el "otro" enfoque deriva abajo de la negativa $x$-eje de $e$ enfoques $1$ y en la deriva de la positiva $x$-eje de $e$ supera $1$; es decir, vamos a ocuparnos de la (rama) de la cónica con el vértice más cercano a la derecha del origen, la "apertura" a la izquierda. Tal cónica tiene por ecuación

$$x^2( 1 - e^2) + 2 e x + y^2 = 1$$

cual es la plantilla para la generalización de la "relación de Pitágoras" de nuestras nuevas funciones.

El vértice, $V$, de (el preferido de la rama de) nuestra cónica ha $x$-coordinar $v := \frac{1}{1+e}$. Deje $P(p,q)$ ser un punto de la curva, con $q\ge 0$. A continuación, definimos la generalización de la medida radián ("grm") de $\angle VOP$ como dos veces el área del sector de la $VOP$. El área del sector es igual al área bajo la curva de$P$$V$, ajustado por el área ($\frac{1}{2}|p|q$) del triángulo rectángulo con hipotenusa $VP$ (restando el triángulo si $p<0$ y la adición de otra manera, resulta que eliminar el valor absoluto signo de $p$ va a "hacer lo correcto"). Es decir,

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{grm}(\angle VOP) &:=& 2 \left( \frac{1}{2} p q + \int_{p}^{v} \sqrt{1-x^2(1-e^2)-2 e x} \; dx\right) \\\\ &=& p \sqrt{1-p^2(1-e^2)-2ep} + 2\int_{p}^{v} \sqrt{1-x^2(1-e^2)-2 e x} \; dx \end{eqnarray*}$$

(Esto explica la desconexión con el estándar hiperbólicas funciones trigonométricas. Estamos definiendo nuestra radianes de "convexo" sectores basados en un enfoque, mientras que el standard funciones hiperbólicas definen de "cóncavo" sectores basados en el centro.)

Y ahora, con vigorosamente-agitar las manos ... Escribir"$t$""$\mathrm{grm}(\angle VOP)$", el de arriba te da una fórmula para $t$ en términos de $p$. La inversión se da, en términos de $t$, una fórmula para $p$ ... que podemos interpretar como "la generalizada coseno de $t$", o "$\cos_e t $". Vamos a resolver para la "generalizada seno de $t$" a partir de la generalización de la relación de Pitágoras

$$( 1 - e^2 )\cos_e^2 t + 2 e \cos_e t + \sin_e^2 t = 1$$

definiendo $P(\cos_e t,\sin_e t)$ como el punto en nuestro generalizada cónica tal que $VOP$ ha generalizado la medida radián $t$.

General(izado)ly hablando, por supuesto.

Detalles (y obstáculos) son, como dicen, "a la izquierda para el lector". (Sugiero abordar el caso de $e=1$ en primer lugar).

Answer 3

Por otro lado, si usted trae el Jacobiano elíptica funciones en la refriega, se hace posible considerar elíptica análogos (aunque el "elíptica" en "elíptica", las funciones no es debido a que estas funciones son útiles en la parametrización un elipse; es una larga historia para otro día).

Brevemente: si consideramos la función de par $\left(a\operatorname{sn}\left(u\mid \frac{a^2}{b^2}\right),\quad a\operatorname{dn}\left(u\mid \frac{a^2}{b^2}\right)\right)$, que parametrizar la elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ por virtud de la identidad de $\operatorname{dn}^2(u\mid m)+m\operatorname{sn}^2(u\mid m)=1$.

En cualquier caso: me gustaría sugerir que usted echa un vistazo a A. I. Markushevich de La Notable Funciones Seno; hay mucho material acerca de las funciones que han sido estudiados como generalizaciones de la habitual circular sinusoidal.

Answer 4

Bien, si definimos u cosp = cosh u 2u y sinp = sqrt (2) * senh u luego se tiene la identidades cosp u - sinp ^ 2 u = 1, u cotp - sinp u = u de cscp y cscp u - tanp u = secp u cscp u, correspondiente a la parábola x - y ^ 2 = 1. Éstos son análogos a las funciones circulares con definición de ecuación x ^ 2 + y ^ 2 = 1 o las funciones hiperbólicas, x ^ 2-y ^ 2 = 1.

Answer 5

Wikipedia "Funciones elípticas de Jacobi", "Definición como trigonometría", podría ser útil:

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_elliptic_functions#Definition_as_trigonometry