Una pregunta sobre el método de Frobenius en ODE.

Question

Supongamos $b(x),c(x)$ son funciones reales de la analítica en $0$. Deje $b(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i, c(x)=\sum_{i=0}^\infty c_ix^i$$(-R,R)$. Supongamos $r$ es una doble raíz de $r(r-1)+b_0r+c_0=0$. Es bien sabido que la ecuación diferencial $$x^2y''+xb(x)y'+c(x)y=0$$ has a solution of the form $$y_1=x^r(1+\sum_{i=1}^\infty a_ix^i),$$ where the series $\sum_{i=1}^\infty a_ix^i$ has radius of convergence $\ge R$ (e.g., see Tyn Myint-U, Ordinary Differential Equations). Another solution is of the form $$y_1\ln x + x^r(\sum_{i=1}^\infty A_ix^i).$$ Most books (including Tyn's) mention without proof that $\sum_{i=1}^\infty A_ix^i$ also has radius of convergence at least $R$.

Deje $I(s)=s(s-1)+b_0s+c_0$. A continuación, $A_i, i\ge 1$ satisfacer la siguiente relación recursiva $$I(r+i)A_i=-\sum_{k=0}^{i-1}A_k[(r+k)b_{i-k}+c_{i-k}]-2ia_i-\sum_{k=1}^{i}b_ka_{i-k}$$ donde $A_0=0$. (Tenga en cuenta que $2r=1-b_0$).

Demostrando que el poder de la serie de $\sum_{k=1}A_kx^k$ tiene radio de convergencia al menos $R$ directamente parece ser desesperada. Traté de prueba de comparación como en Coddington del libro Introducción para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, pero sin éxito.

¿Alguien tiene una prueba, o una referencia donde una prueba?

Answer 1

TCL, usted está absolutamente en lo correcto y la prueba del Teorema 4.5 en mi libro no es completa. Que $h_2$ ha deseado radio de convergencia puede ser demostrado de forma similar a como para $h_1$; el único truco es cambiar la periodicidad de $j\le m$ para evitar la división por $0$$j=m$. Los detalles pueden ser encontrados en la prueba del Teorema 4.13, que cubre la situación actual por la discusión al final de esta sección en p139.

He añadido esta información a la fe de erratas que se puede encontrar en mi página web.

Answer 2

Según el teorema de Fuchs, el radio de convergencia de las series de potencias para$\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i}$ y$\sum_{i=0}^{\infty}A_{i}x^{i}$ es al menos igual al mínimo del radio de convergencia para$b(x)$ y$c(x)$.

Esta parte del teorema de Fuch se demuestra en el libro de Gerald Teschl "Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos", pág. 120.

Answer 3

Por definición, una función analítica está dada localmente por una serie de potencias convergentes. A menudo, Cauchy-Hadamard (Teorema) se usa para determinar el radio de convergencia para una función analítica.

Answer 4

Para grabar, voy a dar una prueba directa aquí. Primera nota de que un poder de la serie de $\sum_i d_ix^i$ tiene radio de convergencia al menos $R$ si y sólo si para cualquier número positivo fijo $t$ menos de $R$, la secuencia de $|d_i|t^i, i\ge 0$ está acotada. (Para probar, demostrar que $\limsup |d_i|^{1/i}\le 1/t.$)

Deje $s$ ser un número menor que $R$. Deje $B=\sum_{i=0}^\infty |b_i|s^i, C=\sum_{i=0}^\infty |c_i|s^i$. Desde $\sum_{i=0}^\infty ia_ix^i$ tiene el mismo radio de convergencia $\sum_{i=0}^\infty a_ix^i$, la secuencia de $2ia_is^i,i=0,1,2\cdots$ es acotado, por decir $D$. $\sum_{k=0}^i b_ka_{i-k}s^i$ es el $i$-ésimo término de la serie de productos de $\sum_{i=0}^\infty b_is^i$$\sum_{i=0}^\infty a_is^i$, por lo que la secuencia está limitada por un número dice $E$. Elija $N$ tal que $$\frac{(|r|+i)B+C}{|I(r+i)|}\le \frac{1}{2},$$ $$\frac{D}{|I(r+i)|}\le \frac{1}{4},$$ $$\frac{E}{|I(r+i)|}\le \frac{1}{4},$$ for all $i\ge N$. Choose $F\ge 1$ such that $|A_i|s^i\le F$ for $i\le$N.

Supongamos $|A_j|s^j\le F$$j<i$. Luego por la relación recursiva, \begin{eqnarray*}|A_i|s^i &\le& F\frac{(|r|+i)B+C}{|I(r+i)|}+\frac{D}{|I(r+i)|}+\frac{E}{|I(r+i)|}\\ &\le& \frac{F}{2}+\frac{1}{2}\\ &\le& F \end{eqnarray*} Esto demuestra por inducción que $|A_i|s^i, i=0,1,2\cdots$ está delimitado por $F$.