Probabilidad: Se lanzan dos dados r veces.

Question

Se lanzan dos dados r veces. Encuentra la probabilidad$p_r$ de que cada una de las seis combinaciones$(1,1),\ldots,(6,6)$ aparezca al menos una vez.

Mi enfoque: Según mi entendimiento, ¿será 1 - Pr (al menos uno de los pares no ocurre en$r$ de las pruebas)? Entonces, ¿esto será$1 - (\Sigma_{i=1}^6\frac{(-1)^{(i-1)} * {^6}C_i*(36-i)^r}{36^r})$?

Answer 1

Podemos calcular la probabilidad después de $r$ intenta mediante una cadena de Markov

El vector está compuesto por 7 miembros : 0 , 1 , ... , 6 dobles. Vamos a empezar con $\pmatrix{1,0,0,0,0,0,0}$ y aplicar la transformación a cada paso :

• de estado de 0 a 1 , cualquiera de los 6 pares de 36 posibles resultados
• de estado de 1 a 2 , de 5 pares de 36
• ...
• de estado de 5 a 6 , ninguna de 1 par de 36

Vamos a llenar una matriz para hacer el cálculo más fácil y estructurada

$\pmatrix{1,0,0,0,0,0,0} \pmatrix{ 30/36 && 6/36 && 0 && 0 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 31/36 && 5/36 && 0 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 32/36 && 4/36 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 33/36 && 3/36 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 0 && 34/36 && 2/36 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 0 && 0 && 35/36 && 1/36 \\ 0 && 0 && 0 && 0 && 0 && 0 && 1 }^r$

El uso de Wolfram alpha *, obtenemos :

• $r = 40$ : $\pmatrix{0.00067929 && 0.0110615 && 0.0692984 && 0.214148 && 0.344741 && 0.274944 && 0.0847995}$
• $r = 79$ :$\pmatrix{5.53744×10^-7 && 0.0000410457 && 0.00115 && 0.0156565 && 0.109656 && 0.376749 && 0.49668}$
• $r = 400$ : $\pmatrix{2.09196×10^-32 && 6.29865×10^-26 && 5.18619×10^-20 \\ && 1.53413×10^-14 && 1.76052×10^-9 && 0.0000765575 && 0.999941}$

Cada columna de $c$ del vector representa la probabilidad de obtener $c$ pares después de $n$ trata, de 0 a 6. La probabilidad de obtener el 6 pares es el último componente del vector de estado ( 6 pares )

La probabilidad es de aproximadamente 1/2 después de 79 intenta , el 80% después de 118 y cerca de 1 después de 400.

(*) Me convierte la matriz a decimal y la reducción de la precisión de los 2 valores para ajustar el máximo tamaño de entrada con Wolfram.