Formulario cerrado para el producto$G(x)G(-x)$ de dos funciones de Barnes

Question

¿Hay una expresión de "forma cerrada" para el siguiente producto de dos funciones de Barnes$G$ -$$G(x)G(-x),$$ where $ x $ es real?

Al trazar el gráfico, he notado que para$-1<x<1$ tenemos$$\left|G(x)G(-x)-\frac{\cos(2\pi x)-1}{a}\right|<b,$$ where $ a$ is some real ($ a = 19.476$ works quite well) and $ b $ es "razonablemente" pequeño.

Answer 1

Permítanme recordar que la propiedad principal de la caracterización de Barnes $G$-función es $G(x+1)=\Gamma(x)G(x)$. Ahora bien, si hemos de introducir las combinaciones \begin{align} &P(x)=G(1+x)G(1-x),\\ &R(x)=\frac{G(1+x)}{G(1-x)}, \end{align} el funcional correspondiente ecuaciones tienen la forma \begin{align} &P(x+1)=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(-x)}P(x),\\ &R(x+1)=-\frac{\pi}{\sin\pi x}R(x). \end{align} Vemos que la ecuación funcional para el simétrico producto no simplificar, en la medida en comparación a$G(x)$, pero la ecuación para la relación.

El mismo puede ser visto en el nivel de la integral de las representaciones: \begin{align} \ln G(x+1)&=\frac{x(1-x)}{2}+x\ln\sqrt{2\pi}+\int_0^{x}t\psi(t)dt,\\ \ln P(x)&=x(1-x)+\int_0^{x}t[\psi(t)+\psi(-t)]dt,\\ \ln R(x)&=x\ln 2\pi-\int_0^x\pi t\cot\pi t\,dt. \end{align}

En otras palabras, la respuesta a tu pregunta es no. El producto $P(x)=-\frac{\pi}{x\sin\pi x}G(x)G(-x)$ es una función de la misma complejidad que $G(x)$. Sin embargo, la relación es (un poco) más simple y puede ser escrito en términos de dilogarithms.