$\sum_{p}\frac{1}{p^s}$ ¿Como puedo resolver esto?

Question

Este ejercicio está en texto Tom M Apostol. Teoría numérica analítica página246.

$$s\int_1^\infty\frac{\pi(x)}{x^sx}dx = \sum_{p}\frac{1}{p^s}$$ where the sum is extended over all primes. ($ x ^ sx$ means that $ x ^ s$ times $ x $.)

Para usar la identidad de Abel, intenté que la suma se extendiera a todos los enteros positivos. Pero no puedo encontrar ninguna idea. ¿Como puedo resolver esto?

Answer 1

Consejos:

Date cuenta de que$\pi(x)=k$ es constante para$p_k \leq x < p_{k+1}$, así que escribe como una suma

PS

Debería poder calcular la integral y obtener una suma en la forma:$$s\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x^{s+1}} dx = \sum_{k=1}^\infty \int_{p_k}^{p_{l+1}} \frac{ks}{x^{s+1}} dx.$ $

Dividir la suma y desplazar los índices a la derecha. (Alternativamente, use la identidad de Abel, también conocida como suma por partes). Una vez que haga esto, debe obtener el resultado. Un problema que debe solucionar / resolver es que asumí un límite inferior de$$\sum_{k=1}^\infty k\left[g(k)-g(k+1) \right].$ en lugar de$2$. Necesitas arreglar esto.

Answer 2

Defina una función$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ como sigue:$f(n) =1$ si$n$ es primo y$0$ else. Entonces tienes lo siguiente:

PS

Ahora podemos aplicar la fórmula de suma de Abel. Tenga en cuenta que, según nuestra definición de$$\sum_p \frac{1}{p^s} = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$,$f$. Por lo tanto, proceda utilizando la fórmula de la suma de Abel:

PS

Donde$\sum_{i=1}^{n} f(i) = \pi (n)$ es un número entero. Por lo tanto, el resultado sigue si permitimos que$$\sum_{p \leq t} \frac{1}{p^s} = \frac{\pi (t)}{t^s} + s \int_{1}^{t} \frac{\pi(x)}{x^{s+1}} dx$, y según el teorema del número primo, el término en el exterior de la integral tenderá a$t$, y el resultado seguirá inmediatamente.