Es el producto de pro-$\mathcal C$ grupos también un pro-$\mathcal C$ grupo?

Question

Deje $\mathcal C$ ser una clase de grupos finitos que está cerrado por subgrupos y directa de productos y llamar a un grupo topológico $G$ un pro-$\mathcal C$ grupo si se trata de un límite inversa de a $\mathcal C$-grupos.

Estoy tratando de demostrar que un producto $\prod_{i\in I}G_i$ de pro-$\mathcal C$-grupos es un pro-$\mathcal C$ grupo y yo estaría muy agradecido por la ayuda.

Yo sé que un pro-$\mathcal C$ grupo es isomorfo a un subgrupo cerrado de un producto de $\mathcal C$-grupos -, pero no estoy seguro si un producto arbitrario de espacios topológicos es cerrado en la topología producto.

Answer 1

Deje $G=\prod_{i\in I}G_i$; en $G$ considera todo normal subgrupos $N$ que están de la siguiente forma: $$(\prod_{i\ne i_1,\dots,i_n}G_i)\times N_{i_1}\times\cdots N_{i_n}$$ where $\{i_1,\dots,i_n\}$ runs through all finite subsets of $I$ and the $N_{i_k}$ is a closed normal subgroup of $G_{i_k}$ such that the quotient $G_{i_k}/N_{i_k}$ is in $\mathcal C$. Then $G/N$ belongs to $\mathcal C$ for every such $N$, the latter follows from that fact that $G/N$ is a subdirect product of the $G_{i_k}/N_{i_k}$ and the assumption that $\mathcal C$ is closed under subgroups and (finite) direct products, and hence is also closed under (finite) subdirect products. The set of all such normal subgroups of $G$ is closed under finite intersection, so forms a directed set and the projective limit running over all such $G/N$ gives $G$.