Toma un cubo, añade uno, ¿cuándo es un primo?

Question

Toma $$ p = n^3 + 1 $$

Acabo de darme cuenta, comprobando algunos números, que esto sólo ocurre para $n=1$ . Me preguntaba si hay alguna prueba general para esto?

Answer 1

Se puede factorizar $n^3+1$ Así que..: $$ p= (n+1)(n^2-n+1)$$ así que $n+1 = 1$ (así $n=0$ ) o $n^2-n+1=1$ (así $n(n-1)=0$ ...)

Answer 2

Puedes reforzar tu comprensión con el hecho de que para cualquier número impar $k > 1$ y $n > 1$ el número $p = n^k + 1$ nunca es un primo porque es divisible por $n+1$ . Los cubos o $k = 3$ es un caso especial.