Exterior medida discontinua desde abajo

Question

Yo estaba tratando de encontrar un ejemplo de una capa exterior de Medida que no es continua desde abajo. Estas son las definiciones que yo uso

Un exterior medida en $X$ es una función de $\mu^\ast: \mathcal{P}(X)\to [0,\infty]$ si cumple

• $\mu^\ast(\emptyset)=0$
• $\mu^\ast\Big( \bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big) \leq \sum_{j=1}^\infty A_j$

Y una cubierta exterior de medida es continuo desde el siguiente al de la secuencia $(A_j)_{j\in \mathbb{N}}$ $A_j\subset A_{j+1}$ alle $j$ la igualdad $$ \mu^\ast \Big( \bigcup_{j=1}^\infty A_j\Big)= \lim_{j\to \infty} \mu^\ast (A_j)$$

Algunos de los resultados que pueda ser útil

• Todas las medidas son continuos desde abajo
• Todos métrica externa de medidas son continuos desde abajo

Así que la búsqueda de una capa exterior de medida que no es continuo desde abajo.

Answer 1

Vamos

$$\mu^\ast(A) = \begin{cases} 0\quad\;,\; A = \varnothing\\ 1\quad\;,\; A \text{ is finite and nonempty}\\ \infty\quad, \text{ otherwise}\end{casos}$$

en un conjunto infinito $X$.

Si $\bigcup A_j$ es infinito, ya sea de al menos un $A_j$ es infinito, o una infinidad de $A_j$ son no vacíos, por lo que

$$\mu^\ast\left(\bigcup A_j\right) \leqslant \sum \mu^\ast(A_j).$$

Deje $A_j = \{x_k\colon 1 \leqslant k \leqslant j\}$ para una secuencia de distintos $x_k$, luego

$$\mu^\ast(A_j) = 1$$

para todos los $j$, pero $\mu^\ast\left(\bigcup A_j\right) = \infty$.