A La Izquierda-Invariante Campos Vectoriales: Suavidad

Question

Dada una Mentira grupo $G$.

Para una izquierda invariante en el campo de vectores se tiene: $$\mathrm{d}l_gV=V\circ l_g:\quad V_g=\mathrm{d}l_gV_e$$

Por el contrario áspero campos vectoriales son lisas: $$V_g:=\mathrm{d}l_gv:\quad V\in\Gamma_G(\mathrm{T}G)$$ Cómo probar esto de una manera inteligente?

Answer 1

Problemática

Vector de campo y diferencial: $$V:G\to\mathrm{T}G:g\mapsto\mathrm{d}l_gv$$ $$\mathrm{d}l_g:\mathrm{T}G\to\mathrm{T}G:v\mapsto\mathrm{d}l_gv$$ (Nota parámetro y variable!)

Diferencial

Considere la posibilidad de un diferencial: $$\mathrm{d}F:\mathrm{T}M\to\mathrm{T}N$$

Sus coordinar la expresión: $$\widehat{\mathrm{d}F}(x,v)=(\hat{F}(x),\mathrm{D}\hat{F}(x)v)$$

Sus derivadas direccionales: $$\partial_x\widehat{\mathrm{d}F}(x,v)=(\partial_x\hat{F}(x),\partial_x\mathrm{D}\hat{F}(x)v)$$ $$\partial_v\widehat{\mathrm{d}F}(x,v)=(0,\mathrm{D}\hat{F}(x)\partial_vv)$$

Por lo que el diferencial es suave!

Campo De Vectores

Respecto al mapa: $$\chi_v:G\to\mathrm{T}(G\times G):g\mapsto[(g,\alpha)]:\quad\hat{\chi}_v(x)=(x,e;0,\hat{v})$$

Así que el áspero campo vectorial escribe: $$V_g=\mathrm{d}l_g[\alpha]=[l_g\circ\alpha]=[\mu(g,\alpha)]=\mathrm{d}\mu[(g,\alpha)]=\mathrm{d}\mu(\chi_v(g))$$

Así fue un buen!