La teoría de los números: si $(a,b)=1$, muestran que $(ac,b)=(c,b)$

Question

Mostre que, se $(a, b) = 1$, entao $(a · c, b) = (c, b)$

Como posso fazer isso usando

$(a,b) = 1\implies$ Existem $m,n$ naturales tais que $am - bn = 1$

Tentativa de traducción:

Mostrar que si $(a,b)=1$,$(ac,b)=(c,b)$.

Cómo se puede hacer esto usando

$(a,b)=1\implies$ existen números naturales $m,n$ tal que $am-bn=1$?

Answer 1

SUGERENCIA: es fácil mostrar que $(c,b)\mid(ac,b)$. Para mostrar que $(ac,b)\mid(c,b)$, vamos a $d=(ac,b)$.

• Demostrar que $(a,d)=1$. (Utilice el hecho de que $d\mid b$.)
• Ahora uso el hecho de que $d\mid ac$ a demostrar que $d\mid c$. Aquí es donde se puede utilizar el hecho de que existen números naturales $m$ $n$ tal que $am-dn=1$: multiplicar la ecuación por $c$.

Answer 2

Solucionar $am-bn=1$$cu-bv=(b,c)$. A continuación, reemplace $u$ $u\cdot 1=u\cdot(am-bn)$ y volver a organizar. Usted debe ser capaz de obtener una expresión de la $$(ac)X+bY=(b,c)$$