¿Para qué tipo de un subconjunto de sus sumas iguales $\mathbb{R}^4$

Question

Para abreviar, supongamos $a,b$ son números reales. Deje $A=\{(\cos(at), \cos(bt), \sin(at), \sin(bt))\mid t\in \mathbb{R}\}$.

Deje $B=\sum A=\{\sum_{i=1}^n x_i\mid x_i\in A, n \geq 1\}$.

Para qué valores $a,b$, $B$ es igual a $\mathbb{R}^4$?

En general, ¿qué condiciones podemos imponer a un subconjunto $A$$\mathbb{R}^n$, tales que la suma de $A$ es todo el espacio?

Las referencias, sugerencias son apreciados.

Gracias!

Answer 1

Primer aviso de que es suficiente para demostrar que $B$ contiene una vecindad del origen. Para probar que usted considere el mapa: $$ \psi(t_1,\dots,t_n) = \sum_{i=1}^n \phi(t_i) $$ donde $\phi(t)$ es la curva de la definición de $A$.

Primero de todo lo que quieras $A$ a contener el origen, por lo que usted tiene que resolver $\psi(\bar t) = 0$ y ver si encuentra condiciones en sus parámetros $a$$b$.

Entonces usted tiene alguna $\bar t_0$ tal que $\psi(\bar t_0)=0$. Así que el mapa contiene una vecindad de a $0$ si el diferencial de $D\psi(\bar t_0)$ tiene rango igual a $4$.