desigualdad en el producto interior

Question

Dejemos que $x \in \Bbb R^n$ y $Q \in M_{n \times n}(\Bbb R)$ , donde $Q$ es hermitiana y definida negativa. Sea $(\cdot,\cdot)$ sea el producto interno euclidiano habitual.

Necesito demostrar la siguiente desigualdad:

$$(x,Qx) \le a(x,x),$$

donde $a$ es el valor propio máximo de $Q$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

Así que, como $Q$ es hermético, se puede escribir como $Q=U\Lambda U^\text{H}$ , donde $\Lambda$ contiene los valores propios (que son negativos) y U es unitario ( $U^HU=I$ ). Entonces

\begin {Edición} (x,Qx) = x^H U \Lambda U^H x = (U^Hx) \Lambda (U^Hx) \end {Ecuación}

En realidad hemos terminado: como todos los valores propios son negativos tenemos

\begin {Ecuación} (U^Hx) \Lambda (U^Hx) \leq (U^Hx) A (U^Hx) \end {ecuación} donde $A=\text{diag}(a,a,\ldots,a)=aI$ . Así que

\begin {Ecuación} (x,Qx) \leq a (U^Hx) (U^Hx) = a ||U^Hx|| = a||x||=a(x,x) \end {Ecuación}

Aquí también utilicé el hecho de que, como U es unitario, no afecta a la longitud de los vectores.