Demostrar que $x-1$ es un factor de $x^n-1$

Question

Demostrar que $x-1$ es un factor de $x^n-1$.

Mi problema: he probado ya que por el teorema de factor^† y simplemente dividiendo ellos. Necesito otro enfoque para demostrarlo. Hay otro tercer enfoque para demostrarlo? Si sí, por favor compartirlo. Voy a estar muy agradecido a usted.

Gracias.

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^†: Factor Teorema: $x -r$ es un factor de $f(x)$ si y sólo si $f(r) = 0$.

Answer 1

Usted puede probar fácilmente que $(x-1)\underbrace{(1+x+...+x^{n-1})}_S=x^n-1$, que es el resultado deseado por la expansión de la izquierda paranthesis (palabra clave: serie geométrica) de la siguiente manera:

$(x-1)S = xS-S = (x+x^2+...+x^n)-(1+x+...+x^{n-1}) = x^n-1$ (telescopio suma)

Answer 2

Ya que la pregunta es con la etiqueta "álgebra abstracta" vamos a usar un poco, viz. congruencias.

Prueba de $\,\ {\rm mod}\,\ x-1\!:\,\ x\equiv 1\,\color{#c00}{\overset{\rm CP}\Rightarrow}\, x^n\equiv 1^n \ $ $\ x-1\mid x^n-1$

el uso de $\,\rm\color{#c00}{CP}$ = Congruencia de Alimentación de la Regla (o reiterado de Productos de la Regla), cuya prueba simple es exactamente el mismo, como es el anillo de enteros, ya que se utiliza sólo conmutativa anillo de leyes.

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O, especializándose $\,a = x\!-\!1\,$ por debajo (inductivo para la prueba de la primera plazo de un binomio de expansión), inmediatamente los rendimientos que $\,x^n = 1 + (x\!-\!1)k,\,$ $\,k\in\Bbb Z[x],\ $ $\ x\!-1\mid x^n\!-\!1\,$ $\,\Bbb Z[x].$

$$\begin{align} (1+ a)^n\, \ \ =&\,\ \ 1 + ak\qquad\qquad\quad {\rm i.e.}\ \ P(n)\\[1pt] \Rightarrow\ (1+a)^{\color{#c00}{n+1}}\! =&\ (1+ak)(1 + a)\\[2pt] =&\,\ \ 1+ a\,(\underbrace{k\!+\!1\!+\!ka\!}_{\large k'})\ \ \ {\rm i.e.}\ \ P(\color{#c00}{n\!+\!1})\\ \end{align}\qquad$$

El de arriba es esencialmente un caso especial de la prueba previa usando congruencias, sin el uso de la lengua de congruencias.

Answer 3

Problema: Demostrar que $x^{n-1}$ es divisible por $x-1$ todos los $n\in\mathbb{N}$ e donde: $x\neq 1$ es un número natural.

Prueba. Para cualquier entero $n\geq 1$, vamos a $S(n)$ denotar la declaración de $$ S(n) : (x-1)\mid (x^n-1)\quad |\quad \forall n\in\mathbb{N},\, x\in\mathbb{N}\setminus\{1\}. $$ Tenga en cuenta que $S(n)$ es un caso especial de una declaración más general: Deje $P(n)$ ser la afirmación de que para cualquier polinomios $p$$q$, $$ P(n) : (p-q)\mid (p^n-p^n)\quad |\quad \forall n\in\mathbb{N},\,p\neq q. $$ Está claro que $S(n)$ es el caso cuando se $p=x$$q=1$.

Base de el paso ($n=1$): La declaración de $P(1)$ dice que $(p-q)\mid (p^1-q^1)$ lo cual es cierto, porque la $(p-q)\mid (p-q)$; es decir, $p-q$ se divide, por supuesto.

Inductivo paso ($P(k)\to P(k+1)$): Corregir algunos $k\geq 1,\,k\in\mathbb{N}$. Suponga que $$ P(k) : (p-q)\mid (p^k-q^k)\quad |\quad \forall k\in\mathbb{N},\,p\neq q $$ sostiene. Es decir, $p^k-q^k=(p-q)\ell$ donde $\ell$ es arbitraria en el polinomio. Se ha demostrado es que $$ P(k+1) : (p-q)\mid (p^{k+1}-q^{k+1}) $$ de la siguiente manera. A ver que $P(k+1)$ sigue, muestran que $p^{k+1}-q^{k+1}$ es divisible por $p-q$: \begin{align} p^{k+1}-q^{k+1} &= p^{k+1}-p^kq+p^kq-q^{k+1}\tag{manipulate}\\[0.5em] &= p^k(p-q)+q(p^k-q^k)\tag{factor out %#%#% and %#%#%}\\[0.5em] &= p^k(p-q)+q(p-q)\ell\tag{by %#%#%}\\[0.5em] &= (p-q)(p^k+q\ell).\tag{factor out %#%#%} \end{align} Se ha demostrado que la $p^k$, con lo que la conclusión de la prueba de la inducción de paso. El director de la inducción matemática, para cada $q$, el más fuerte de resultado $P(k)$ mantiene, y por lo tanto $p-q$ mantiene así.

Answer 4

Un polinomio de la forma $x - a$ divide el polinomio $f$ si y sólo si $f(a) = 0$.

Answer 5

Si usted tiene un polinomio $p(x)$ de grado de más de $1$, y escribir $p(x) = (x-a)q(x)+ r(x)$, $a$ es una raíz de $p(x)$ si y sólo si $r(a) = 0$, y desde $\deg r(x) < \deg(x-1) = 1$, obtenemos que $r$ es constante. Escribir $x^n-1 = (x-1)q(x) + r(x)$ y el aviso de que $1$ es una raíz de $x^n-1$.