La convergencia de la serie de $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}\sin\bigr(\frac{p\pi u_n}{q}\bigl)$

Question

Deje $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ definido por: $u_0=1, u_1=1$, y para todo entero $u_{n+1}=3u_n-u_{n-1}$

El estudio de la convergencia de $$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}\sin\left(\frac{p\pi u_n}{q}\right)$$ with $p,q \in \mathbb{N}^*$

Tengo $ S_N = \sum_{n=0}^N \frac{1}{n+1} \sin \left( \frac{2 \pi p u_n}{q} \right) = \frac{a_N}{N+1} - \sum_{n=0}^{N-1} \frac{a_n}{(n+1)(n+2)}$

donde $$a_n = \sum_{k=0}^n \sin \left( \frac{2 \pi p u_k}{q} \right)$$

Ahora Si me muestra que $a_n$ es acotado, entonces $$\frac{a_N}{N+1} \xrightarrow[N \to \infty]{} 0 \mbox{ and } \frac{a_n}{(n+1)(n+2)} \underset{n \to \infty}{=} \mathcal{O} \left( \frac{1}{n^2} \right)$$

Por desgracia no he podido probarlo.

Yo intente otro método :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \left( \begin{array}{c} u_n \\ u_{n+1} \end{array} \right) = Un \left( \begin{array}{c} u_{n-1} \\ u_n \end{array} \right)$$

con $$ A = \left[ \begin{array}{ c c } 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{array} \right] $$

A continuación, $$ \forall n \in \mathbb{N}, \left( \begin{array}{c} u_n \\ u_{n+1} \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) $$

Como antes, no veo cómo puedo seguir

Gracias de antemano

Answer 1

Al $u$ es un número entero, $\sin(u\pi/q)$ sólo depende del valor de $u$ modulo $2q$. Así que, en su caso, sólo el valor de $u_n$ modulo $2q$ es importante.

Si usted mira la secuencia de $v_n = u_n \pmod {2q}$, ya que todavía tenemos $v_{n+1} = 3v_n - v_{n-1}$ (así como de $v_{n-1} = 3v_n - v_{n+1}$), y debido a $v_n$ sólo puede llevarse a $2q$ valores diferentes, la secuencia de $v_n$ tiene que ser periódica, y también lo es la secuencia de $\sin(\frac{p\pi u_n}q)$.

Deje $T$ ser el período de la secuencia y deje $S = \sum_{n=1}^{T} \sin (\frac {p\pi u_n} q)$.

Si $S \neq 0$ $\sum_{n=a}^{a+T-1} \frac 1 {n+1} \sin(\frac {p\pi u_n} q) \sim \frac S n$ al $n \to \infty$, por lo que la secuencia diverge.
Si $S = 0$ $\sum_{n=a}^{a+T-1} \frac 1 {n+1} \sin(\frac {p\pi u_n} q) = O(\frac 1 {n^2})$ al $n \to \infty$, por lo que la secuencia converge.

Answer 2

En este punto, sólo diagonalize $A$, obteniendo $A=PDP^{-1}$ donde $P$ es el cambio en la base de la matriz y $D$ es la diagonal de la matriz obtenida de los autovalores de la diagonal. El próximo aviso de que $A^n=PD^nP^{-1}$. De esta manera, usted encontrará que (como la de Fibonacci) que $u_n=\frac{1}{\sqrt5}(\lambda_1^n-\lambda_2^n)$ donde $\lambda_{1}=\frac{3+\sqrt5}{2},\lambda_2=\frac{3-\sqrt5}{2}$ son los autovalores de a $A$ (y, a continuación, el elemento de la diagonal de a $D$).