Subcampo de un campo numérico ciclotómico en el que un primo $p$ es inerte

Question

Estoy leyendo este paper by Adleman,Lenstra on finding Irreducible polynomial over Finite field. Aquí en la Sección VI(Prueba de la corrección de Algo B) me encontré con este argumento:

Sea $q_i $ sea un primo tal que $q_i-1$ es cuadrado libre. Entonces $\mathbb{Q}(\zeta_{q_i})$ contienen un subcampo $K$ tal que $[K:\mathbb{Q}]=ord_{q_i}(p)$ y el primo p es inerte en $K$ .

Tengo conocimiento de los siguientes hechos :

1. Divisiones polinómicas ciclotómicas en $\mathbb{F}_p$ como grado = $ord_{q_i}(p)$ factores irreducibles.
2. Correspondencia entre la división del ideal $ (p) $ en $\mathbb{Q}(\zeta_{q_i})$ y factorización de $\Phi_{q_i}(x)$ sur $\mathbb{F}_p$ .
3. Desde $ord_{q_i}(p) | q_i-1$ por lo que existe un campo K' tal que $[K':\mathbb{Q}]=ord_{q_i}(p)$ .

Pero no estoy seguro de cómo estas cosas dan la afirmación dada en el documento.

Answer 1

El grupo de Galois del campo ciclotómico sobre $\Bbb Q$ es cíclico, por lo que siempre contendrá un subcampo como $\Bbb K$ y la inercia se deduce del hecho de que $\gcd([\Bbb K:\Bbb Q],[\Bbb Q(\zeta):\Bbb K])=1$ como $q-1$ es cuadrado libre.