Trigonométricas cerca de identidad

Question

La parametrización de la curva de $$ \left( \sec\theta+\csc\theta,\ 2\sqrt{2}\csc(2\theta) \right) \qquad \frac{10}{100} \le\theta\le\frac{142}{100} $$ se ve a simple vista como una línea recta. El $y$intercepto no es $0$ y la pendiente es un número que yo no he probado a hacer sentido de la (todavía). (El factor de $2\sqrt{2}$ fue elegido sólo para hacer el mínimo de los valores de las dos coordenadas iguales el uno al otro.) El mejor ajuste de línea recta da todos los residuos de menos de $0.08$, muy pequeño!

Por qué?

Answer 1

Llame a $K=\csc\left(\theta\right)+\sec\left(\theta\right)$ $W=a/\sin\left(2\theta\right)$ algunos $a\gt0$ $\theta\in\left]0,\pi/2\right[$ lugar. Usted está interesado en la razón por la $K$ $W$ casi tienen una relación lineal. En primer lugar, sabemos que $$K^2=\frac{1}{\sin^2\left(\theta\right)}+\frac{1}{\cos^2\left(\theta\right)}+\frac{2}{\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}\\=\frac{4a^2}{a^2\cdot 4\sin^2\left(\theta\right)\cos^2\left(\theta\right)}+\frac{4a}{a\cdot 2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}=\frac{4W^2}{a^2}+\frac{4W}{a}\\\Longrightarrow K=\frac{2W}{a}\left(1+\frac{a}{W}\right)^{1/2}\\ \Longrightarrow \csc\left(\theta\right)+\sec\left(\theta\right)=\frac{2\sqrt{1+\sin(2\theta)}}{\sin\left(2\theta\right)}.$$ This is an exact identity. In the given interval, $\displaystyle \left|\sin\left(2\theta\right)\right| =\left|\frac{a}{W}\right|\lt 1$. We can invoke the binomial theorem: $$K=\frac{2}{\sin\left(2\theta\right)}\left[1+\frac{\sin\left(2\theta\right)}{2}-\frac{\sin^2\left(2\theta\right)}{8}+\text{higher order terms}\right]\approx \frac{2}{\sin\left(2\theta\right)}+1$$ como los demás términos se va a cero. Como se dijo, esto es casi una relación lineal. ¿Qué tan buena es? No mucho.

Answer 2

Simple identidades trigonométricas rendimiento $$ (\sin(\theta)+\cos(\theta))^2=1+\sin(2\theta) $$ Tomando raíces cuadradas ($\sin(\theta)+\cos(\theta)$ es positiva en el intervalo considerado) y multiplicando por $\sec(\theta)\csc(\theta)=2\csc(2\theta)$ rendimientos $$ \begin{align} \sec(\theta)+\csc(\theta) &=2\csc(2\theta)\sqrt{1+\frac1{\csc(2\theta)}}\\ \end{align} $$ Esto reduce la pregunta de por qué $2x\sqrt{1+\frac1x}$ aparece lineal para $x\ge1$.

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Tomando nota de que $$ \left(2x+1-2x\sqrt{1+\frac1x}\right)\left(2x+1+2x\sqrt{1+\frac1x}\right)=1 $$ Vemos que $$ \frac1{4x+2}\le2x+1-2x\sqrt{1+\frac1x}\le\frac1{4x+1} $$ Por lo tanto, obtenemos $$ \s(\theta)+\csc(\theta)=2\csc(2\theta)+1-\Delta(\theta) $$ donde $$ \frac1{4\csc(\theta)+2}\le\Delta(\theta)\le\frac1{4\csc(\theta)+1} $$

Answer 3

$\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= {{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}\over{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}}}=\frac{4\sqrt{2}\cos{2\theta}}{\sec{\theta}\tan{\theta}-\cot\theta\csc\theta}}$ lo que pasa que no varían mucho en el intervalo dado.

Cualquier curva suave que se vean directamente si se reduce en la medida suficiente.

Answer 4

Poner $\theta:={\pi\over4}+t$. Luego tenemos a la curva de $$\gamma:\quad t\mapsto {\bf z}(t)=\bigl (x(t),y(t)\bigr):=\left({\cos t\over\cos(2t)},{1\over\cos(2t)}\right)\qquad \left(-{\pi\over4}<t<{\pi\over4}\right)$$ que en realidad es la misma curva de ida y vuelta con un "Rückkehrpunkt" a ${\bf z}(0)=(1,1)$. La curvatura de $\gamma$ puede ser calculada como $$\kappa(t)={x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)\over\bigl(x'^2(t)+y'^2(t)\bigr)^{3/2}}\ .$$ Aquí está una parcela de $t\mapsto\kappa(t)$. Esto muestra que la curvatura es máxima ($={4\over125}=0.032$) en el "Rückkehrpunkt".