No estoy seguro de que sería preciso decir que no había "reticencia", en el sentido de deliberada oposición a la idea, pero es cierto que son muchos los autores que en el siglo 18 el pensamiento de funciones como expresiones algebraicas, que era natural teniendo en cuenta esas eran las únicas funciones que jamás había visto.
Toda mi información viene de Kline del Mathemtical Pensamiento.
Por lo que yo sé es incorrecto decir que la noción de una función se debe atribuir a la de Euler. Euler introdujo la notación $f(x)$ para una función, en 1734, sin Embargo, aún no se le puede dar crédito completo, como en 1718 Bernouilli ya se utiliza $\phi x$, y hasta donde yo sabía de Euler sabía Bernouilli bien, así que parece que la única cosa que realmente le debo es el uso de $f$, y la de los paréntesis. La palabra función es supuestamente debido a Leibniz tan pronto como 1673. La riqueza de notaciones parece indicar que la función de concepto ya era importante en el siglo 18 el trabajo.
Kline los estados que en el siglo 18 fue "sobre todo", que se cree que funciones debe ser dado por algún tipo de expresión simbólica. Él menciona que Euler y Lagrange las funciones llamadas "discontinuo" si se dan por diferentes expresiones en diferentes dominios, presumiblemente, lo que podríamos llamar la pieza-sabio funciones definidas. Hay un par de referencias (Gauss, Lacroix) desde el siglo 18 la definición de funciones en general, y de manera más explícita, en el caso de Lacroix: "Cada cantidad cuyo valor depende de uno o varios de los otros (...) si uno conoce o no se sabe por qué operaciones es necesario pasar de la segunda a la primera cantidad" y da el ejemplo de una raíz de un quintic como una función de sus coeficientes.
La transformada de Fourier se salió de su camino en su Teoría Analítica del Calor (1822) para explicar que una función no tiene que ser expresada por cualquier tipo de fórmula.
Cauchy fue uno de los primeros investigadores a intentar de una manera rigurosa y sistemática encontró análisis como lo que yo sé. Su Cours d'Analyse de 1821 se basa en el bastante ambiguo concepto de "variable". Él dice que una variable se llama una función de otra variable, si es posible determinar su valor de la otra variable. Pero a pesar de este algo vaga definición, luego procede a utilizar el concepto de una función de una forma bastante moderna, escribir cosas como "Vamos a $f(x)$ ser una función de la variable $x$..." y definir una noción de continuidad de las funciones, por ejemplo. Cauchy concepto de "variable" fue atacado por Weierstrass algunos años más tarde (mediados del siglo 19), diciendo que frases tales como "una variable se aproxima a un límite" sugieren vaga noción de tiempo y movimiento. Weierstass se acredita con las modernas definición de un límite de uso de $\epsilon-\delta$.
Ya en la década de 1820 Dirichlet dio la definición de una función es una asociación de un valor único para cada posible valor de entrada. La función de Dirichlet ($1$ para irrationals, $0$ para los racionales) es algo que le ocurrió en 1829, me imagino como ejemplo de la forma general de su concepción de la función, pero Kline no menciona específicamente.
En cualquier caso, Kline la descripción que da la impresión de que a pesar de la moderna definición fue sin duda comenzando a emerger, no hubo un verdadero consenso. Algunos usan de Dirichlet de la definición, otros asumieron la función debía ser dado por "una ley". Para mí, esto indica que los autores de libros de texto ampliamente no lo considera necesario dar una totalmente definición precisa, y siguió su intuición.
Si usted está interesado, esta información es específica en el volumen 3 de Pensamiento Matemático, p. 949.
