La continuidad de la $f^{-1}$

Question

Por lo que he leído de este teorema:

Supongamos $f$ es un continuo $1-1$ asignación de un espacio métrico compacto $X$ a de un espacio métrico $Y$. Entonces la inversa de la asignación de $f^{-1}$ definido en $Y$ por $$ f^{-1}(f(x))=x \quad x\in X $$ is a continuous mapping of $Y$ onto $X$.

Por favor alguien puede explicar por qué la compacidad de $X$ es necesario aquí? Me refiero a ¿por qué no es posible para $f^{-1}$ a de ser continuo sin $X$ ser compacto?

Answer 1

Vamos a probarlo, y será claro donde vamos a utilizar la compacidad. Deje $F \subseteq X$ ser cerrado. Vamos a demostrar que la inversa de la imagen $(f^{-1})^{-1}(F)$ $F$ $f^{-1}$ es cerrado. Desde $F$ es cerrado y $X$ es compacto, $F$ es también compacto. Desde $F$ es continua, $f(F) = (f^{-1})^{-1}(F)$ es compacto en $Y$. Desde $Y$ es un espacio métrico, es Hausdorff, y en estos espacios, cada conjunto compacto es cerrado. Como queríamos.

Hechos esenciales:

• Imagen directa de un conjunto compacto por una función continua es compacto;
• Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto en sí mismo;
• Cada subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Answer 2

Contraejemplo: $f: [0, 2\pi) \to \mathbb S^1$, $f(t) = e^{it}$ es continua y bijective, pero no tienen un continuo inversa.

Para ver por qué la inversa no es continua, tenga en cuenta que $$f([0, \pi) = \{ e^{it} | t\in [0, \pi)\}$$ no está abierto en el $\mathbb S^1$. Es decir, para el conjunto abierto $[0, \pi)$ en $[0, 2\pi)$, $f^{-1}([0, \pi))$ no está abierto en el $\mathbb S^1$. Por lo tanto $f^{-1}$ no es continua.

Answer 3

Deje $X=\{0\}\cup (1,2]$. deje $Y=[1,2]$. Deje $f(0)=1$. Deje $f(x)=x$$x\in (1,2]$.A continuación, $f$ es un continuo bijection pero a la inversa $g=f^{-1}$ no es continua porque $A=(1,2)$ es cerrado en $X$ pero $g^{-1}A=f A=A$ no está cerrado en $Y$.El punto clave de la prueba del teorema es que si $X$ fueron un compacto Hausdorff espacio a puertas cerradas, $A\subset X$ es compacto por lo que su imagen en $f$ es compacto,y por lo tanto cerrado en $Y$ (debido a $Y$ es Hausdorff) .Tenga en cuenta que podemos reemplazar "métrica" con el más general de "Hausdorff".