Tengo dificultades para entender la prueba de consistencia relativa $Con(ZF)\rightarrow Con(ZFC)$ . La mayoría de los autores parecen asumir desde el principio la existencia de algún universo $V$ satisfaciendo $ZF$ y proceder a demostrar que $L$ es un modelo para $ZFC$ demostrando así la consistencia de $ZFC$ . ¿Es este universo $V$ se supone que es un conjunto en algún universo más grande, en el que utilizamos el teorema de completitud para mostrar que $Con(ZF)$ implica la existencia de $V$ o hay alguna forma finitista de mostrar $Con(ZF)$ implica la existencia de un universo donde $ZF$ ¿sujetos? Gracias.
Respuesta
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Hay dos maneras de ver esto:
Modelo-teórico : Como se supone que ZF es consistente, tiene un modelo, y dentro de este modelo encontramos un modelo de ZFC.
Esto puede parecer un poco sospechoso, porque la prueba habitual del teorema de completitud (una teoría consistente tiene un modelo) utilizaba el axioma de elección, pero en realidad el teorema de completitud para una contable La teoría como ZF no necesita elección. Sin embargo, todavía tenemos que creer en la teoría de conjuntos para que esta forma funcione.
Sintácticamente : Supongamos que podemos derivar una contradicción $\phi\land\neg\phi$ (sin variables libres) de ZFC. Entonces tiene una demostración formal. Escribe la relativización de cada paso de la prueba a $\mathbf L$ y para cada axioma de la prueba insertar nuestra prueba de que $\mathbf L$ satisface todos los axiomas de ZFC.
El resultado es una prueba en ZF de $(\phi\land\neg\phi)^{\mathbf L}$ que es lo mismo que $\phi^{\mathbf L}\land \neg\phi^{\mathbf L}$ y, por tanto, una contradicción de buena fe demostrada a partir de ZF. Así que si ZFC es inconsistente entonces ZF también lo es.
Nótese que el método sintáctico no depende de tener ningún modelo o universo para ZF o ZFC en absoluto - procede enteramente en el nivel de reglas y pruebas. Por lo tanto, puede llevarse a cabo en PA y se considera generalmente "finitista".
