Cuando es una de morfismos de $S$-groupoids un monomorphism?

Question

De acuerdo a la "avenida de los Campos algébriques" por Laumon y Moret-Bailley, y $S$-groupoid es una categoría $\mathscr{X}$ y un functor $a: \mathscr{X} \to (\mathrm{Aff}/S)$ donde $(\mathrm{Aff}/S)$ es de la categoría de los afín a los esquemas de más de un esquema fijo $S$. Además, satisface las propiedades que hacen de $\mathscr{X}$ un fibrado categoría de más de $(\mathrm{Aff}/S)$ donde cada fibra categoría $\mathscr{X}_U$ es un groupoid.

A continuación, los autores afirman que una de morfismos $F: \mathscr{X} \to \mathscr{Y}$ es un monomorphism si cada restricción a la fibra categorías $F_U: \mathscr{X}_U \to \mathscr{Y}_U$ es totalmente fiel. Mi pregunta es la siguiente: ¿por qué no es suficiente con que cada una de las $F_U$ ser fiel? ¿Por qué es plenitud de ser necesario?

Answer 1

La correspondiente noción de "monomorphism" entre groupoids es totalmente fiel involucración debido a la existencia de isomorphisms entre los objetos es un tipo de quotienting (que es más sutil, a continuación, declarando dos objetos son iguales). Si usted tiene un mapa de groupoids que sólo es fiel, entonces no podría ser más quotienting en el objetivo, que era el que no se hace en la fuente.

Por ejemplo, hay un mapa de la pila de $\ast$ (que asigna ningún esquema el punto) a la pila de $BG$ (que asigna principal $G$-paquetes) que se da en el trivial $G$-bundle. A continuación, este mapa es un fiel functor $\ast \to BG$, pero está muy lejos de ser una monomorphism, porque hay un montón de automorfismos en $BG$ que no vienen de la $\ast$. De hecho, $BG$ es la "stacky" cociente de $\ast$ modulo de la acción de la $G$.

Un poco más de motivación: dado un mapa de groupoids (o $S$-groupoids) $C \to D$, $C \to D$ es totalmente fiel si y sólo si $C \to C \times_D C$ (que es el homotopy o 2-fibrado producto) es una equivalencia. Esto coincide con la "clásica" en la observación de que una mapa de $X \to Y$ es una categoría si y sólo si $X \to X \times_Y X$ es un isomorfismo, pero en 2 categoría tierra.