Solucionar $2(x+y)+xy=x^2+y^2$ donde $x,y \in \mathbb{Z}$

Question

Resolver la ecuación: $$2(x+y)+xy=x^2+y^2$$

¿Cómo hago para solucionar esto? Cualquier orientación apreciado.
Gracias!

Answer 1

$$8(x+y)=4(x^2-xy+y^2)\\8(x+y)=3(x-y)^2+(x+y)^2\\8z=3w^2+z^2\\16=3w^2+(z-4)^2$$ donde $w=x-y$ $z=x+y$

Answer 2

La ecuación dada puede escribirse como $$(x-2)^2+(y-2)^2+(x-y)^2=8$$

Ahora desea entero de soluciones. El lado izquierdo es una suma de tres enteros plazas, por lo que hay muy pocas maneras en que esto puede lograrse. Cada componente tiene que ser un número entero entre el$-\sqrt{8}$$\sqrt{8}$.

Permítanme añadir, además, que: si tomamos $a=x-2$$b=y-2$, entonces podemos reescribir la ecuación anterior como:

$$a^2+b^2+(a-b)^2=8.$$ Esto implica que las únicas posibilidades para $a$ $b$ están en el conjunto de $\{0,\pm1,\pm2\}$. Ahora usted puede comprobar que uno de estos va a funcionar y utilizar para obtener $x,y$.

Answer 3

Aplicar de Cauchy-Schwarz desigualdad de dos veces a ambos lados izquierdo y derecho de la ecuación:

$2(x+y) + \dfrac{(x+y)^2}{4} \geq LHS = RHS \geq \dfrac{(x+y)^2}{2} \Rightarrow 2(x+y) + \dfrac{(x+y)^2}{4} \geq \dfrac{(x+y)^2}{2} \Rightarrow 2(x+y) - \dfrac{(x+y)^2}{4} \geq 0 \Rightarrow (x+y)(8-(x+y)) \geq 0 \Rightarrow 8 \geq x+y \geq 0$. Así que hay un total de $9$ de los casos a considerar. Voy a hacer un par de unos y de hacer el resto.

Caso 1: $x+y = 0 \Rightarrow x = -y \Rightarrow 2\cdot 0 + xy = x^2+y^2 \Rightarrow -x^2 = 2x^2 \Rightarrow 3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 = y$.

Caso 2: $x+y = 1 \Rightarrow 2\cdot 1 + xy = (x+y)^2 - 2xy = 1 - 2xy \Rightarrow 3xy = -1 \Rightarrow$ no hay solución para este caso.

etc...

Answer 4

$ 2(x+y) + xy = x^2 + y^2 $

$ 2(x+y) + 3xy = (x+y)^2 $

$ u = x + y, v = xy $

$ 2u + 3v = u^2 $

$ u^2 - 2u - 3v = 0 $

$ \frac{1}{2}u^2 - u - \frac{3}{2}v = 0 $

$ D = 1 + 3v $

$ u = 1 + \sqrt{1 + 3v} $ o $ u = 1 - \sqrt{1 + 3v} $

Deje $ \sqrt{1+3v} = k $, por lo tanto $ v = \frac{k^2 - 1}{3} $

Primer caso $ u = 1 + \sqrt{1+3v} $

$ x + y = 1 + k $

$ xy = \frac{k^2 - 1}{3} $

$ y = 1 + k - x $

$ 3x(1+k-x) = k^2 - 1 $

$ 3x + 3kx - 3x^2 = k^2 - 1 $

$ 3x^2 - 3(k+1)x + k^2 - 1 = 0 $

$ D = 9(k+1)^2 - 12 (k^2 - 1) = -3k^2 + 18k + 21 = -3(k^2 - 6k - 7) = -3(k+1)(k-7) $

$ -3(k+1)(k-7) >= 0 $, por lo tanto $ k \in [-1, 7] $ $ k \in \mathbb N $

$x = \frac{3(k+1) \pm \sqrt{-3(k+1)(k-7)}}{6}$

Debido a esto $ k $ puede ser de 1, 5 o 7 $ \sqrt{-3(k+1)(k-7)} \in \mathbb Z $

$ k = 1 $, por lo tanto $ x = 2 $ $ y = 0 $ O $ x = 0 $ $ y = 2 $

Del mismo modo se pueden considerar casos $ k = 5 $$ k = 7 $$ u = 1 - \sqrt{1 + 3v} $.

En resumen, la respuesta será $ (0, 0) $, $ (0, 2) $, $ (2, 0) $, $ (2, 4) $, $ (4, 2) $, $ (4, 4) $.