¿Por qué el z-ultrafilter de Piedra-Čech compactification de la construcción tienen la característica universal?

Question

Para las nociones de $z$-filtro, el primer $z$-filtros y $z$-ultrafilters ver Un Primer $\mathcal P$-filtro está contenida en un único $\mathcal P$-ultrafilter?

Deje $X$ ser un espacio de Tychonoff. Deje $BX$ el conjunto de $z$-ultrafilters de $X$. Para cada cero-set $Z$, vamos a $Z^*=\{p\in BX: Z\in p \}$, entonces los conjuntos de $Z^*$ formulario de una base de conjuntos cerrados para una topología en $BX$. Ahora considere el $K$ un compacto Hausdorff espacio y $f:X\rightarrow K$ una función continua.

Si $p\in BX$, es fácil ver que $\mathcal{F}_p=\{Z\subseteq K: Z$ es un cero y $f^{-1}[Z]\in p\}$ es un primer $z$-ultrafilter, utilizando ese $K$ $T_3$ uno puede mostrar que $F_p$ tiene un grupo único punto de $q$, como primer $z$-filtros están contenidas en el único $z$-ultrafilters en $T_3$ espacios, a continuación, defina $\bar{f}(p)=q$. Quiero mostrar a $\bar{f}$ es continua. Para ello, es suficiente para probar que para cualquier cero-set $B$ de $K$, $\bar{f}^{-1}[B]$ está cerrado en $BX$, ya que el $K$$T_3$.

Me han demostrado que si $p\notin \bar{f}^{-1}[B]$,$p\notin (f^{-1}[B])^*$, por lo que sólo necesita mostrar el ${(f^{-1}[B])^*}^c\cap \bar{f}^{-1}[B]=\emptyset$, $\bar{f}^{-1}[B]\subseteq (f^{-1}[B])^*$, desde entonces ${(f^{-1}[B])^*}^c$ sería un conjunto abierto tal que $p\in {(f^{-1}[B])^*}^c$ discontinuo con $\bar{f}^{-1}[B]$. El problema es que no sé cómo demostrar que $\bar{f}^{-1}[B]\subseteq (f^{-1}[B])^*$.

Así que, ¿es esto cierto?, y, ¿hay una manera más fácil de probar que $BX$ tiene la característica universal con respecto a los compactos de Hausdorff espacios?

Gracias

Answer 1

Tomar un cero conjunto de vecindad $Z_1$ $q = \bar{f}(p)$ ($Y$ es Tychonoff, estos forman una base), necesitamos encontrar un barrio de $p$ que los mapas (en $\bar{f}$) a $Z_1$). Deje $C$ ser un co-zeroset (complemento de un cero) barrio de $p$ $Z_1$ que $C \subset Z_1$. De nuevo, este utiliza Tychonoff. Ahora establezca $Z_2 = Y \setminus C$, y ahora se $Y = Z_1 \cup Z_2$, una unión de dos cero-conjuntos, de los cuales sólo uno ($Z_1$) es una vecindad de a $q$.

Ahora, $f^{-1}[Z_1]$ $f^{-1}[Z_2]$ son también cero pone en $X$, cuya unión es$X$, por lo que la unión de $(f^{-1}[Z_1])^{\ast}$ $(f^{-1}[Z_2])^{\ast}$ es igual a $BX$.

Ahora verifique $BX \setminus (f^{-1}[Z_2])^{\ast}$ es un barrio de $p$ que se asigna a $Z_1$ bajo $\bar{f}$.