Cuadrados cocartesianos en la categoría de grupos abelianos.

Question

Recientemente, he estado haciendo una recapitulación de la teoría de categorías (básica) y he encontrado un viejo ejercicio que parece que no puedo resolver. La cuestión es la siguiente.

Dejemos que $A, B$ sean grupos abelianos, $A'<A$ y $B'<B$ subgrupos y $\phi:A\to B$ tal que $\phi(A')\subseteq B'$ . Sea $\phi':A'\to B'$ y $\phi'':A/A'\to B/B'$ sean los mapas inducidos por $\phi$ . Demostrar que el diagrama

\begin{array} AA' & \to & A \\ \downarrow{\phi'} & & \downarrow{\phi} \\ B' & \to & B \end{array}

es un cuadrado cocartiano si y sólo si $\phi''$ es un isomorfismo.

El ejercicio que precede a éste parece un enunciado dual que sí he conseguido demostrar (un cuadrado similar que es cartesiano si $\phi'$ es una iso), sin embargo, la simple dualización de la prueba no parece funcionar. Esa prueba, sin embargo, sugiere utilizar la propiedad universal de los cuadrados cocartesianos para una de las implicaciones ( $\Rightarrow$ ), mientras que se utiliza la construcción explícita de pushouts en la categoría de abelios para la otra. El pushout de $A_1\overset{f_1}{\leftarrow} A_3 \overset{f_2}{\rightarrow} A_2$ en esta categoría viene dada por $A_1\oplus A_2/\{(f_1(x),-f_2(x))\mid x\in A_3\}$ .

¿Puede alguien proporcionarme una prueba, o dar un esbozo de prueba que pueda señalar qué paso no veo todavía?

Answer 1

Tome $A' \to A \to A/A'$ el primer mapa es la inclusión y el segundo es la proyección del cociente. Tomemos entonces $B' \to B \to B/B'$ Los mapas son los mismos que en el caso anterior. Ambos son secuencias exactas, lo que significa que $\operatorname{im}(\text{inclusion}) = \ker(\text{projection})$ . Debería notar que $(\phi', \phi, \phi'')$ es un morfismo de secuencias exactas, lo que significa que este triple hace conmutar el diagrama obvio.

Ahora, puede comprobar que la secuencia $B' \to P \to \operatorname{coker}(i)$ es exacta, si $P$ es el empuje de la inclusión $A' \subseteq A$ a lo largo de $\phi'$ y $i$ es la inclusión estándar de $B'$ en la suma directa que mencionas. Si juntas los dos diagramas (el que describe el mapa $(\phi', \phi, \phi'')$ y el de $(\phi', j, k)$ , donde $j\colon A \to P$ es la inclusión estándar y $k\colon A/A' \to \operatorname{coker}(i)$ ), se observa que también hay un formulario de mapa $B$ a $P$ debido a la propiedad universal de $P$ . Como debes saber el mapa universal es una iso, así que $B \cong P$ . Entonces se nota que $\operatorname{coker}(i)$ es iso a $B/B'$ porque las inclusiones $B' \subseteq B$ y $B' \subseteq P$ difieren por una iso. Esto significa que su plaza es de hecho un pushout.

Se trata de una sucesión de iff-s, por lo que su afirmación queda demostrada. Esto debería ser mucho más fácil si escribes los diagramas que menciono, cosa que no puedo hacer aquí, ya que parece que mathjax no soporta xypic, y no estoy familiarizado con ninguna otra forma de escribir diagramas conmutativos.

Aclaración: Entiendo que esto es un ejercicio de teoría de categorías y no he utilizado ningún método estrictamente categórico, pero hay que tener en cuenta que la categoría de grupos abelianos es una categoría abeliana y esto se hace realmente con total generalidad en cualquier categoría abeliana si, en lugar de cocientes se toman coquinas.

EDIT: Aquí está el diagrama del que hablaba.