La prueba de que todas las células primitivas tienen el mismo tamaño

Question

Una célula primitiva de una red cristalina es un conjunto $A$ tal que las dos copias de $A$, lo que se traduce por una celosía de vectores no se superponen y tal que $A$ azulejos de todo el cristal.

He leído (por ejemplo, en el alemán "Festkörperphysik" por Bruto, Marx), que todas las células primitivas tienen el mismo tamaño/volumen.

Intuitivamente, esto parece plausible, pero no es una prueba?

Mi precisos, medida teórica, la interpretación de esta instrucción es: Si $a_1, \ldots, a_n$ es una base de $\mathbf{R}^n$ $A, B \subset \mathbf{R}^n$ son conjuntos tales que a $(\cup (A+\alpha_1 a_1+\ldots+\alpha_n a_n))C$ $(\mathbf{R}^n \cup (B+\alpha_1 a_1+\ldots+\alpha_n a_n))^C$ (donde la unión es superior a todas las $\alpha_1, \ldots,\alpha_n ∈ \mathbf{Z}$) son Lebesgue nula conjuntos y tal que para todo $\alpha_1,\ldots,\alpha_n∈\mathbf{Z}$: $(A+\alpha_1 a_1 + \ldots \alpha_n a_n) \cap A$ y $(B+\alpha_1 a_1 + \ldots \alpha_n a_n) \cap B$ son Lebesgue nula establece, a continuación, $A$ $B$ tienen la misma medida de Lebesgue.

Answer 1

Deje $\mathcal{L}\subseteq\mathbb{R}^n$ ser una celosía con una base $B\in\mathcal{R}^{n\times n}$ $F\subseteq\text{span}(\mathcal{L})$ ser medibles. $F$ azulejos $\mathcal{L}$ fib

1. $(x+F)\cap(y+F)=\emptyset\,\forall x\neq y\in\mathcal{L}$, y
2. $\mathcal{L}+F=\text{span}(\mathcal{L})$

Es trivial para mostrar (lo voy a dejar como ejercicio) que 1. implica: $$ |(\mathcal{L}+x)\cap F|\leq 1 $$ mientras que el 2. implica $$ |(\mathcal{L}+x)\cap F|\geq 1 $$ y por lo tanto $$ |(\mathcal{L}+x)\cap F|= 1 $$

para $x\in\text{span}(\mathcal{L})$. Entonces tenemos

\begin{align} \text{vol}(F) &= \int_{\mathbb{R}^n} 1_F(x)dx \\ &= \int_{B[0,1)^n}\sum_{y\in\mathcal{L}} 1_F(x+y)dx\\ &=\int_{B[0,1)^n}|(\mathcal{L}+x)\cap F|dx=\text{vol}(B[0,1)^n) \end{align}

Answer 2

El cociente de la formación de mapa de $\Bbb R^n\to\Bbb R^n/\Lambda$ es una isometría local (como las traducciones realizadas por los elementos de la celosía $\Lambda$ son isometrías sin puntos fijos) en un toro, cuyo volumen es igual a la (valor absoluto) de los determinantes de la base de $\Lambda$.

La preimagen de cada punto del toro tiene exactamente un punto en la célula primitiva, por definición de la célula primitiva, tan (tan pronto como la célula primitiva tiene una bien definida de volumen), su volumen debe ser igual a la del toro.