Una pregunta acerca de las matrices tales que los elementos de cada fila suman a $1$.

Question

Deje $A$ ser invertible $10\times 10$ matriz con entradas real tal que la suma de cada fila es $1$. A continuación, es la suma de las entradas de cada fila de la matriz inversa de a$A$$1$?

He creado algunos ejemplos, y se encontró que la proposición sea verdadera. También demostró que si dos matrices con la propiedad de que la suma de los elementos de cada fila es $1$ se multiplican, a continuación, el producto también tiene la misma propiedad. Claramente, $I$ tiene esta propiedad. Creo que tengo una prueba de correr a lo largo de las siguientes líneas: $$A^{-1}A=I$$ where $Un$ and $I$ satisfy the aforementioned property. Also, if $^{-1}$ did not satisfy this property, then neither would the product of $$ and $^{-1}$, lo cual es una contradicción.

Es que la proposición es verdadera, y si es así, es mi prueba correcta?

Answer 1

Cualquier matriz cuadrada $\;n\times n\;$ tiene filas suma igual a $\;1\;$ fib $\;u:=(1,1,\ldots,1)^t\;$ es un autovector con autovalor $\;1\;$, pero luego

$$Au=u\implies A^{-1}\left(Au\right)=A^{-1}u\iff u= A^{-1}u$$

así que la respuesta es sí.