¿Qué es $\int \sec^3 x \ dx$?

Question

Tengo que resolver la integral: $$\int \sec^3 x \ dx$$ He utilizado integración por partes, dejando que: $$u=\sec x$$ $$du = \sec x \tan x \ dx$$ $$dv=\sec^2 x$$ $$v=\tan x$$ Integración por partes fórmula: $$\int u \ dv = uv - \int v \ du$$ Usando integración por partes: $$\sec x \tan x - \int \tan x \sec x \tan x \ dx$$ $$\sec x \tan x - \int \tan^2 x \sec x \ dx$$ El uso de la identidad de $\tan^2 x = \sec^2 x -1$: $$\sec x \tan x - \int \sec x \left(\sec^2 x - 1\right) \ dx$$ $$\sec x \tan x - \int \sec^3 x \ dx + \int \sec x \ dx$$ $$\sec x \tan x + \ln|\sec x \tan x| - \int \sec^3 x \ dx$$ ¿Y ahora qué hago? Si puedo integrar $\int \sec^3 x \ dx$ nuevo, solo voy a seguir entrando en un bucle infinito y terminar con $\int \sec^3 x \ dx$ nuevo. Puede alguien por favor me apunte en la dirección correcta? Gracias

Answer 1

Lea la página de la Wikipedia en http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant_cubed - esto debe darle su respuesta.

Podría continuar con lo que has hecho y el uso de la integración constante de $C$ para obtener $$\int\sec^3(x)dx=\dfrac{1}{2}\left(C+\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)\tan(x)|\right)$$

Answer 2

Si usted hizo su álgebra correctamente, en realidad estás hecho. Deje $I=\int\sec^3(x)\,dx$. Entonces has demostrado $I=f(x)-I \implies I = f(x)/2$ donde $f(x)$ es todo lo que $\sec{x}\tan{x}$ negocio que usted tenga.

Answer 3

Esto puede ayudar a escribir la ecuación general que han demostrado:

$$ \int \sec^3 x \, dx = C + \sec x \tan x + \ln|\sec x \tan x| - \int \sec^3 x \ dx $$

Ahora, ¿qué suele hacer cuando la cosa que usted quiere resolver para que aparezca varias veces en una ecuación? :)

(He añadido el "+C" porque de lo contrario, las dos copias de $\int \sec^3 x \, dx$ podría difieren por una constante. Añadir en el "+C", nos permite asegurar que en realidad son el mismo antiderivada de $\sec^3 x$)