¿Cómo Dirac definir el representante de la $\{\langle\phi\frac{d}{dq}\}\psi\rangle = \langle\phi\{\frac{d}{dq}\psi\rangle\}$

Question

En pate 89 de Dirac del libro, Los Principios de la Mecánica Cuántica, él escribe:

Vamos a tratar el operador lineal $\frac{d}{dq}$ de acuerdo a la teoría general de la linealidad de los operadores de la sección 7. Entonces, debemos ser capaces de aplicarlo a un bra $\langle\phi(q)$, el producto $\langle\phi\frac{d}{dq}$ ser definida, de acuerdo a (3) de la sección 7 , por

$$\{\langle\phi\frac{d}{dq}\}\psi\rangle = \langle\phi\{\frac{d}{dq}\psi\rangle\}$$

para todas las funciones $\psi(q)$.

Esto está bien, entiendo que esto. Entonces escribe

Tomando representantes, obtenemos

$$\int\langle\phi\frac{d}{dq}|q'\rangle dq'\psi(q') = \int\phi(q')dq'\frac{d\psi(q')}{dq'}$$

Parece como si se ha integrado ambos lados wrt que los autovalores de a $q$ y simplificado en una forma que yo no entiendo.

Answer 1

Creo que la dificultad se deriva de la arcaica de la notación. Lo que él está tratando de hacer es mostrar que $-\mathrm{i}\mathrm{D}$ es Hermitian, donde $\mathrm{D}=\mathrm{d}/\mathrm{d}q$. Nota la primera ecuación se escribió. Es justo decir que el $\mathrm{D}$ actuar "hacia atrás" en el sujetador es equivalente a $\mathrm{D}$ actuar "hacia delante" en el ket. Él está tratando de obtener una expresión para $\mathrm{D}$ actuando hacia atrás, cf. Eq. (16). Para insertar en la primera ecuación a la integridad relación $$I=\int |q\rangle\langle q|\,\mathrm{d}q$$ En el lado izquierdo de la primera ecuación, la inserción de este derecho después de la $\}$ y en la CARTA de la inserción de este derecho antes de la $\{$. Esto da la ecuación deseada.

Edición en respuesta al comentario:

($\mathrm{D}$ se define más arriba.) Creo que mi respuesta está en el espíritu de la Dirac, es sólo que su notación es extraño a nuestros ojos. Yo desnatada en la sección e intentará emular a su notación.

¿Qué hace la primera ecuación decir? Tenemos un ket (vector) $\psi\rangle$, un operador lineal $\mathrm{D}$ y un sujetador (vector dual) $\langle\phi$. Ahora actuamos sobre el vector con el operador lineal, esto da $\mathrm{D}\psi\rangle$. Ahora tomamos el producto escalar con el sujetador, que da $\langle\phi\{\mathrm{D}\psi\rangle\}$. Aquí las llaves no significa nada especial, simplemente dejar claro que $\mathrm{D}$ está actuando en $\psi\rangle$. Ok, es obvio cómo definir $\mathrm{D}\psi\rangle$, cf. Eq. (11) en Dirac del libro. Lo que es menos obvio es cómo definir el $\langle\phi \mathrm{D}$. Podemos definir de una manera en que $\{\langle\phi\mathrm{D}\}$ es el sujetador que cuando actuó en $\psi\rangle$ da $\langle\phi\{\mathrm{D}\psi\rangle\}$. Esto se escribe como $$\tag{1}\{\langle\phi\mathrm{D}\}\psi\rangle=\langle\phi\{\mathrm{D}\psi\rangle\}$$ que es su primera ecuación. En notación moderna, esto es realmente trivial, es decir, $$\langle\phi|\mathrm{D}|\psi\rangle(=\{\langle\phi\mathrm{D}\}\psi\rangle)=\langle\phi|\mathrm{D}|\psi\rangle(=\langle\phi\{\mathrm{D}\psi\rangle\})$$ Para continuar, hacemos uso de Eq. (24) en la página 63, en el que se lee $$\int|\xi'\rangle\,\mathrm{d}\xi'\,\langle \xi'|=1$$ con la $1$ a de ser entendido en la matriz de sentido. Aquí, el conjunto continuo de vectores propios que nos interesan están la posición de los vectores propios. Por lo tanto, hemos $$\int|q'\rangle\,\mathrm{d}q'\,\langle q'|=1$$ Ahora podemos insertar esto en $(1)$. En el lado izquierdo, insertar justo antes de la $\}$ y en el lado derecho de insertar a la derecha después de la $\{$. Obtenemos $$\int\{\langle\phi\mathrm{D}|q'\rangle\,\mathrm{d}q'\,\langle q'|\}\psi\rangle =\langle\phi\left\{\int|q'\rangle\,\mathrm{d}q'\,\langle q'|\mathrm{D}\psi\rangle\right\}$$ La eliminación de las llaves y el uso de $\langle x|f\rangle=f(x)$, obtenemos $$\int\langle\phi\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}|q'\rangle \,\mathrm{d}q'\,\psi(q')=\int\phi(q')\,\mathrm{d}q'\,\frac{\mathrm{d}\psi(q')}{\mathrm{d}q}$$ donde hemos usado (11) en la página 89. Ahora integramos por partes en la RHS: $$\int\langle\phi\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}|q'\rangle \,\mathrm{d}q'\,\psi(q')=-\int\frac{\mathrm{d}\phi(q')}{\mathrm{d}q}\,\mathrm{d}q'\,\psi(q')$$ Por la inspección, se han $$\langle\phi\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}|q'\rangle=-\frac{\mathrm{d}\phi(q')}{\mathrm{d}q}$$ Si este es presionado para todos los $|q'\rangle$, debemos tener $$\langle\phi\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}=-\langle\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}q}$$ Espero que esto es lo que se entiende por "en el espíritu de Dirac del método".

Answer 2

Dado un densamente definido pre-cerrado operador $T$ sobre un espacio de Hilbert $H$, puede definir su transposición (más correctamente llamado el adjunto) $T^*$ por que lo requieran para ser el operador con la propiedad de que $$(\eta,T\psi)=(T^*\eta,\psi)$$ para cualquier $\eta$ en el dominio de $T^*$ (que es densa) y $\psi$ en el dominio de $T$. Utilizando la notación de Dirac podemos reescribir esta en las formas equivalentes $$\langle\eta|T|\psi\rangle = \langle\eta|T\psi\rangle=\langle T^*\eta|\psi\rangle$$ de modo que podemos definir formalmente la acción de $T$ en bras por $$\langle \eta|T:=\langle T^*\eta|.$$ Esto es para ser concebido como una igualdad entre los funcionales lineales en la (manipuladas) espacio de Hilbert y por lo tanto se debe mantener en el débilsentido $$\langle\eta|T=\langle T^*\eta|\qquad\text{iff}\qquad\langle\eta|T|\psi\rangle =\langle T^*\eta|\psi\rangle,\qquad\forall |\psi\rangle\in H.$$ Recordemos que el interior del producto se define como $$(\eta,\psi) = \langle\eta|\psi\rangle = \int\overline{\eta(x)}\psi(x)\text dx,$$ así que, con $T=\frac{\text d}{\text dx}$, tenemos $$\begin{align} \langle\eta|T|\psi\rangle &=\langle\eta|T\psi\rangle\\ &=\int\overline{\eta(x)}\psi'(x)\text dx\\ &=\langle T^*\eta|\psi\rangle. \end{align}$$ Esto puede ser parafraseado por decir que la acción de la $T$ en el lineal funcionales identificados por $\langle\eta|$, es decir, el mapa $$|\psi\rangle\mapsto\int\overline{\eta(x)}\psi(x)\text dx$$ se envía a la función lineal identificados por $\langle\eta|T\equiv\langle T^*\eta|$ dada por $$|\psi\rangle\mapsto\int\overline{\eta(x)}\psi'(x)\text dx.$$